Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16143 / 6911
↖ ↑ ↗
← N 71.528390°
W  2.647705°		 ← 387.06 m → N 71.528390°
W  2.636719°		 →
↑
387.10 m
↓
↑
387.10 m
↓
N 71.524909°
W  2.647705°		 ← 387.13 m →
149 844 m²		 N 71.524909°
W  2.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492660522460938 y=0.210922241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492660522460938 × 215)
    floor (0.492660522460938 × 32768)
    floor (16143.5)     		tx = 16143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210922241210938 × 215)
    floor (0.210922241210938 × 32768)
    floor (6911.5)     		ty = 6911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16143 / 6911 ti = "15/16143/6911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16143/6911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16143 ÷ 215
    16143 ÷ 32768     		x = 0.492645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6911 ÷ 215
    6911 ÷ 32768     		y = 0.210906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.01470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04621117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210906982421875 × 2 - 1) × π
    0.57818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81642500040317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04621117} λ = -0.04621117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81642500040317))-π/2
    2×atan(6.14983345155135)-π/2
    2×1.40960112224543-π/2
    2.81920224449086-1.57079632675     		φ = 1.24840592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04621117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.647705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24840592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.528390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16143 KachelY 6911 -0.04621117 1.24840592 -2.647705 71.528390
    Oben rechts KachelX + 1 16144 KachelY 6911 -0.04601942 1.24840592 -2.636719 71.528390
    Unten links KachelX 16143 KachelY + 1 6912 -0.04621117 1.24834516 -2.647705 71.524909
    Unten rechts KachelX + 1 16144 KachelY + 1 6912 -0.04601942 1.24834516 -2.636719 71.524909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24840592-1.24834516) × R
    6.0759999999993e-05 × 6371000     		dl = 387.101959999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24840592-1.24834516) × R
    6.0759999999993e-05 × 6371000     		dr = 387.101959999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04621117--0.04601942) × cos(1.24840592) × R
    0.000191750000000004 × 0.316834718525284 × 6371000     		do = 387.057727913198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04621117--0.04601942) × cos(1.24834516) × R
    0.000191750000000004 × 0.316892347631675 × 6371000     		du = 387.128129891507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24840592)-sin(1.24834516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316834718525284-0.316892347631675)×R²
    abs(-0.04601942--0.04621117)×5.76291063902334e-05×R²
    0.000191750000000004×5.76291063902334e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.76291063902334e-05×40589641000000     		ar = 149844.431526052m²