Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16142 / 6862
↖ ↑ ↗
← N 71.698194°
W  2.658691°		 ← 383.62 m → N 71.698194°
W  2.647705°		 →
↑
383.66 m
↓
↑
383.66 m
↓
N 71.694743°
W  2.658691°		 ← 383.69 m →
147 194 m²		 N 71.694743°
W  2.647705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492630004882812 y=0.209426879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492630004882812 × 215)
    floor (0.492630004882812 × 32768)
    floor (16142.5)     		tx = 16142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209426879882812 × 215)
    floor (0.209426879882812 × 32768)
    floor (6862.5)     		ty = 6862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16142 / 6862 ti = "15/16142/6862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16142/6862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16142 ÷ 215
    16142 ÷ 32768     		x = 0.49261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6862 ÷ 215
    6862 ÷ 32768     		y = 0.20941162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04640292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20941162109375 × 2 - 1) × π
    0.5811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8258206327287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04640292} λ = -0.04640292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8258206327287))-π/2
    2×atan(6.20788732487756)-π/2
    2×1.41108293886582-π/2
    2.82216587773165-1.57079632675     		φ = 1.25136955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04640292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.658691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25136955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.698194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16142 KachelY 6862 -0.04640292 1.25136955 -2.658691 71.698194
    Oben rechts KachelX + 1 16143 KachelY 6862 -0.04621117 1.25136955 -2.647705 71.698194
    Unten links KachelX 16142 KachelY + 1 6863 -0.04640292 1.25130933 -2.658691 71.694743
    Unten rechts KachelX + 1 16143 KachelY + 1 6863 -0.04621117 1.25130933 -2.647705 71.694743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25136955-1.25130933) × R
    6.02199999999442e-05 × 6371000     		dl = 383.661619999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25136955-1.25130933) × R
    6.02199999999442e-05 × 6371000     		dr = 383.661619999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04640292--0.04621117) × cos(1.25136955) × R
    0.000191749999999997 × 0.314022385196265 × 6371000     		do = 383.622071134371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04640292--0.04621117) × cos(1.25130933) × R
    0.000191749999999997 × 0.314079558433003 × 6371000     		du = 383.69191620442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25136955)-sin(1.25130933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314022385196265-0.314079558433003)×R²
    abs(-0.04621117--0.04640292)×5.7173236738095e-05×R²
    0.000191749999999997×5.7173236738095e-05×6371000²
    0.000191749999999997×5.7173236738095e-05×40589641000000     		ar = 147194.463760282m²