Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16140 / 6909
↖ ↑ ↗
← N 71.535351°
W  2.680664°		 ← 386.90 m → N 71.535351°
W  2.669678°		 →
↑
386.97 m
↓
↑
386.97 m
↓
N 71.531870°
W  2.680664°		 ← 386.97 m →
149 733 m²		 N 71.531870°
W  2.669678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492568969726562 y=0.210861206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492568969726562 × 215)
    floor (0.492568969726562 × 32768)
    floor (16140.5)     		tx = 16140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210861206054688 × 215)
    floor (0.210861206054688 × 32768)
    floor (6909.5)     		ty = 6909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16140 / 6909 ti = "15/16140/6909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16140/6909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16140 ÷ 215
    16140 ÷ 32768     		x = 0.4925537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6909 ÷ 215
    6909 ÷ 32768     		y = 0.210845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4925537109375 × 2 - 1) × π
    -0.014892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04678641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210845947265625 × 2 - 1) × π
    0.57830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81680849560013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04678641} λ = -0.04678641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81680849560013))-π/2
    2×atan(6.15219233542354)-π/2
    2×1.40966186349448-π/2
    2.81932372698895-1.57079632675     		φ = 1.24852740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04678641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24852740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.535351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16140 KachelY 6909 -0.04678641 1.24852740 -2.680664 71.535351
    Oben rechts KachelX + 1 16141 KachelY 6909 -0.04659467 1.24852740 -2.669678 71.535351
    Unten links KachelX 16140 KachelY + 1 6910 -0.04678641 1.24846666 -2.680664 71.531870
    Unten rechts KachelX + 1 16141 KachelY + 1 6910 -0.04659467 1.24846666 -2.669678 71.531870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24852740-1.24846666) × R
    6.07399999998925e-05 × 6371000     		dl = 386.974539999315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24852740-1.24846666) × R
    6.07399999998925e-05 × 6371000     		dr = 386.974539999315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04678641--0.04659467) × cos(1.24852740) × R
    0.000191740000000003 × 0.316719494744437 × 6371000     		do = 386.896787820968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04678641--0.04659467) × cos(1.24846666) × R
    0.000191740000000003 × 0.316777107219211 × 6371000     		du = 386.967165810951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24852740)-sin(1.24846666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316719494744437-0.316777107219211)×R²
    abs(-0.04659467--0.04678641)×5.76124747741491e-05×R²
    0.000191740000000003×5.76124747741491e-05×6371000²
    0.000191740000000003×5.76124747741491e-05×40589641000000     		ar = 149732.823785061m²