Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1614 / 429
↖ ↑ ↗
← N 80.459509°
W 38.144531°		 ← 1 619.82 m → N 80.459509°
W 38.056641°		 →
↑
1 621.10 m
↓
↑
1 621.10 m
↓
N 80.444930°
W 38.144531°		 ← 1 622.27 m →
2 627 879 m²		 N 80.444930°
W 38.056641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3941650390625 y=0.1048583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3941650390625 × 212)
    floor (0.3941650390625 × 4096)
    floor (1614.5)     		tx = 1614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1048583984375 × 212)
    floor (0.1048583984375 × 4096)
    floor (429.5)     		ty = 429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1614 / 429 ti = "12/1614/429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1614/429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1614 ÷ 212
    1614 ÷ 4096     		x = 0.39404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 429 ÷ 212
    429 ÷ 4096     		y = 0.104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.66574766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104736328125 × 2 - 1) × π
    0.79052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48351489551587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66574766} λ = -0.66574766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48351489551587))-π/2
    2×atan(11.9833105652244)-π/2
    2×1.48753983616203-π/2
    2.97507967232407-1.57079632675     		φ = 1.40428335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66574766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40428335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.459509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1614 KachelY 429 -0.66574766 1.40428335 -38.144531 80.459509
    Oben rechts KachelX + 1 1615 KachelY 429 -0.66421368 1.40428335 -38.056641 80.459509
    Unten links KachelX 1614 KachelY + 1 430 -0.66574766 1.40402890 -38.144531 80.444930
    Unten rechts KachelX + 1 1615 KachelY + 1 430 -0.66421368 1.40402890 -38.056641 80.444930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40428335-1.40402890) × R
    0.000254450000000128 × 6371000     		dl = 1621.10095000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40428335-1.40402890) × R
    0.000254450000000128 × 6371000     		dr = 1621.10095000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66574766--0.66421368) × cos(1.40428335) × R
    0.00153397999999993 × 0.165744570507925 × 6371000     		do = 1619.81946328174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66574766--0.66421368) × cos(1.40402890) × R
    0.00153397999999993 × 0.165995495769574 × 6371000     		du = 1622.27175249642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40428335)-sin(1.40402890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165744570507925-0.165995495769574)×R²
    abs(-0.66421368--0.66574766)×0.000250925261648854×R²
    0.00153397999999993×0.000250925261648854×6371000²
    0.00153397999999993×0.000250925261648854×40589641000000     		ar = 2627878.58912172m²