Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16137 / 6935
↖ ↑ ↗
← N 71.444667°
W  2.713623°		 ← 388.75 m → N 71.444667°
W  2.702637°		 →
↑
388.82 m
↓
↑
388.82 m
↓
N 71.441171°
W  2.713623°		 ← 388.82 m →
151 169 m²		 N 71.441171°
W  2.702637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492477416992188 y=0.211654663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492477416992188 × 215)
    floor (0.492477416992188 × 32768)
    floor (16137.5)     		tx = 16137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211654663085938 × 215)
    floor (0.211654663085938 × 32768)
    floor (6935.5)     		ty = 6935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16137 / 6935 ti = "15/16137/6935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16137/6935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16137 ÷ 215
    16137 ÷ 32768     		x = 0.492462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6935 ÷ 215
    6935 ÷ 32768     		y = 0.211639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.01507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04736166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211639404296875 × 2 - 1) × π
    0.57672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81182305803964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04736166} λ = -0.04736166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81182305803964))-π/2
    2×atan(6.12159729288122)-π/2
    2×1.40887050157662-π/2
    2.81774100315324-1.57079632675     		φ = 1.24694468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04736166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.713623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24694468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.444667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16137 KachelY 6935 -0.04736166 1.24694468 -2.713623 71.444667
    Oben rechts KachelX + 1 16138 KachelY 6935 -0.04716991 1.24694468 -2.702637 71.444667
    Unten links KachelX 16137 KachelY + 1 6936 -0.04736166 1.24688365 -2.713623 71.441171
    Unten rechts KachelX + 1 16138 KachelY + 1 6936 -0.04716991 1.24688365 -2.702637 71.441171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24694468-1.24688365) × R
    6.10299999999064e-05 × 6371000     		dl = 388.822129999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24694468-1.24688365) × R
    6.10299999999064e-05 × 6371000     		dr = 388.822129999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04736166--0.04716991) × cos(1.24694468) × R
    0.000191749999999997 × 0.31822033780855 × 6371000     		do = 388.750454815179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04736166--0.04716991) × cos(1.24688365) × R
    0.000191749999999997 × 0.318278194680013 × 6371000     		du = 388.82113504024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24694468)-sin(1.24688365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31822033780855-0.318278194680013)×R²
    abs(-0.04716991--0.04736166)×5.78568714624805e-05×R²
    0.000191749999999997×5.78568714624805e-05×6371000²
    0.000191749999999997×5.78568714624805e-05×40589641000000     		ar = 151168.520943685m²