Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16133 / 6906
↖ ↑ ↗
← N 71.545786°
W  2.757569°		 ← 386.71 m → N 71.545786°
W  2.746582°		 →
↑
386.72 m
↓
↑
386.72 m
↓
N 71.542309°
W  2.757569°		 ← 386.78 m →
149 560 m²		 N 71.542309°
W  2.746582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492355346679688 y=0.210769653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492355346679688 × 215)
    floor (0.492355346679688 × 32768)
    floor (16133.5)     		tx = 16133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210769653320312 × 215)
    floor (0.210769653320312 × 32768)
    floor (6906.5)     		ty = 6906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16133 / 6906 ti = "15/16133/6906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16133/6906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16133 ÷ 215
    16133 ÷ 32768     		x = 0.492340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6906 ÷ 215
    6906 ÷ 32768     		y = 0.21075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.01531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04812865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21075439453125 × 2 - 1) × π
    0.5784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81738373839557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04812865} λ = -0.04812865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81738373839557))-π/2
    2×atan(6.15573235782923)-π/2
    2×1.40975293395009-π/2
    2.81950586790018-1.57079632675     		φ = 1.24870954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04812865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.757569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24870954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.545786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16133 KachelY 6906 -0.04812865 1.24870954 -2.757569 71.545786
    Oben rechts KachelX + 1 16134 KachelY 6906 -0.04793690 1.24870954 -2.746582 71.545786
    Unten links KachelX 16133 KachelY + 1 6907 -0.04812865 1.24864884 -2.757569 71.542309
    Unten rechts KachelX + 1 16134 KachelY + 1 6907 -0.04793690 1.24864884 -2.746582 71.542309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24870954-1.24864884) × R
    6.06999999999136e-05 × 6371000     		dl = 386.71969999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24870954-1.24864884) × R
    6.06999999999136e-05 × 6371000     		dr = 386.71969999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04812865--0.04793690) × cos(1.24870954) × R
    0.000191750000000004 × 0.316546726196189 × 6371000     		do = 386.705905180277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04812865--0.04793690) × cos(1.24864884) × R
    0.000191750000000004 × 0.316604304231944 × 6371000     		du = 386.776244768693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24870954)-sin(1.24864884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316546726196189-0.316604304231944)×R²
    abs(-0.04793690--0.04812865)×5.75780357552347e-05×R²
    0.000191750000000004×5.75780357552347e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.75780357552347e-05×40589641000000     		ar = 149560.392537938m²