Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16132 / 6905
↖ ↑ ↗
← N 71.549264°
W  2.768554°		 ← 386.62 m → N 71.549264°
W  2.757569°		 →
↑
386.66 m
↓
↑
386.66 m
↓
N 71.545786°
W  2.768554°		 ← 386.69 m →
149 501 m²		 N 71.545786°
W  2.757569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492324829101562 y=0.210739135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492324829101562 × 215)
    floor (0.492324829101562 × 32768)
    floor (16132.5)     		tx = 16132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210739135742188 × 215)
    floor (0.210739135742188 × 32768)
    floor (6905.5)     		ty = 6905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16132 / 6905 ti = "15/16132/6905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16132/6905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16132 ÷ 215
    16132 ÷ 32768     		x = 0.4923095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6905 ÷ 215
    6905 ÷ 32768     		y = 0.210723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04832039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210723876953125 × 2 - 1) × π
    0.57855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81757548599405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04832039} λ = -0.04832039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81757548599405))-π/2
    2×atan(6.15691281789731)-π/2
    2×1.40978327972741-π/2
    2.81956655945481-1.57079632675     		φ = 1.24877023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04832039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.768554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24877023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.549264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16132 KachelY 6905 -0.04832039 1.24877023 -2.768554 71.549264
    Oben rechts KachelX + 1 16133 KachelY 6905 -0.04812865 1.24877023 -2.757569 71.549264
    Unten links KachelX 16132 KachelY + 1 6906 -0.04832039 1.24870954 -2.768554 71.545786
    Unten rechts KachelX + 1 16133 KachelY + 1 6906 -0.04812865 1.24870954 -2.757569 71.545786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24877023-1.24870954) × R
    6.06900000001964e-05 × 6371000     		dl = 386.655990001251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24877023-1.24870954) × R
    6.06900000001964e-05 × 6371000     		dr = 386.655990001251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04832039--0.04812865) × cos(1.24877023) × R
    0.000191739999999996 × 0.316489156480082 × 6371000     		do = 386.615412231292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04832039--0.04812865) × cos(1.24870954) × R
    0.000191739999999996 × 0.316546726196189 × 6371000     		du = 386.685737988333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24877023)-sin(1.24870954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316489156480082-0.316546726196189)×R²
    abs(-0.04812865--0.04832039)×5.75697161074307e-05×R²
    0.000191739999999996×5.75697161074307e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.75697161074307e-05×40589641000000     		ar = 149500.760948897m²