Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16129 / 52991
↖ ↑ ↗
← N 32.549128°
W135.700378°		 ← 257.45 m → N 32.549128°
W135.697632°		 →
↑
257.45 m
↓
↑
257.45 m
↓
N 32.546813°
W135.700378°		 ← 257.46 m →
66 283 m²		 N 32.546813°
W135.697632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123058319091797 y=0.404293060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123058319091797 × 217)
    floor (0.123058319091797 × 131072)
    floor (16129.5)     		tx = 16129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404293060302734 × 217)
    floor (0.404293060302734 × 131072)
    floor (52991.5)     		ty = 52991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16129 / 52991 ti = "17/16129/52991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16129/52991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16129 ÷ 217
    16129 ÷ 131072     		x = 0.123054504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52991 ÷ 217
    52991 ÷ 131072     		y = 0.404289245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123054504394531 × 2 - 1) × π
    -0.753890991210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.36841840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404289245605469 × 2 - 1) × π
    0.191421508789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.601368405733604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36841840} λ = -2.36841840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.601368405733604))-π/2
    2×atan(1.82461390497263)-π/2
    2×1.06944289284103-π/2
    2.13888578568206-1.57079632675     		φ = 0.56808946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36841840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.700378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56808946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.549128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16129 KachelY 52991 -2.36841840 0.56808946 -135.700378 32.549128
    Oben rechts KachelX + 1 16130 KachelY 52991 -2.36837046 0.56808946 -135.697632 32.549128
    Unten links KachelX 16129 KachelY + 1 52992 -2.36841840 0.56804905 -135.700378 32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 16130 KachelY + 1 52992 -2.36837046 0.56804905 -135.697632 32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56808946-0.56804905) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dl = 257.452109999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56808946-0.56804905) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dr = 257.452109999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36841840--2.36837046) × cos(0.56808946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842930426611978 × 6371000     		do = 257.45264931631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36841840--2.36837046) × cos(0.56804905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 257.459289517517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56808946)-sin(0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842930426611978-0.842952167416165)×R²
    abs(-2.36837046--2.36841840)×2.17408041863765e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17408041863765e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17408041863765e-05×40589641000000     		ar = 66282.5825674785m²