Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16128 / 52992
↖ ↑ ↗
← N 32.546813°
W135.703125°		 ← 257.46 m → N 32.546813°
W135.700378°		 →
↑
257.45 m
↓
↑
257.45 m
↓
N 32.544498°
W135.703125°		 ← 257.47 m →
66 284 m²		 N 32.544498°
W135.700378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123050689697266 y=0.404300689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123050689697266 × 217)
    floor (0.123050689697266 × 131072)
    floor (16128.5)     		tx = 16128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404300689697266 × 217)
    floor (0.404300689697266 × 131072)
    floor (52992.5)     		ty = 52992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16128 / 52992 ti = "17/16128/52992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16128/52992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16128 ÷ 217
    16128 ÷ 131072     		x = 0.123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52992 ÷ 217
    52992 ÷ 131072     		y = 0.404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123046875 × 2 - 1) × π
    -0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404296875 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.601320468833984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36846634} λ = -2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.601320468833984))-π/2
    2×atan(1.82452644073542)-π/2
    2×1.06942268884486-π/2
    2.13884537768971-1.57079632675     		φ = 0.56804905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56804905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.546813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16128 KachelY 52992 -2.36846634 0.56804905 -135.703125 32.546813
    Oben rechts KachelX + 1 16129 KachelY 52992 -2.36841840 0.56804905 -135.700378 32.546813
    Unten links KachelX 16128 KachelY + 1 52993 -2.36846634 0.56800864 -135.703125 32.544498
    Unten rechts KachelX + 1 16129 KachelY + 1 52993 -2.36841840 0.56800864 -135.700378 32.544498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56804905-0.56800864) × R
    4.04100000001018e-05 × 6371000     		dl = 257.452110000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56804905-0.56800864) × R
    4.04100000001018e-05 × 6371000     		dr = 257.452110000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36846634--2.36841840) × cos(0.56804905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842952167416165 × 6371000     		do = 257.459289517517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36846634--2.36841840) × cos(0.56800864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842973906843837 × 6371000     		du = 257.465929298301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56804905)-sin(0.56800864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842952167416165-0.842973906843837)×R²
    abs(-2.36841840--2.36846634)×2.17394276724736e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17394276724736e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17394276724736e-05×40589641000000     		ar = 66284.2920472921m²