Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16126 / 6951
↖ ↑ ↗
← N 71.388649°
W  2.834473°		 ← 389.88 m → N 71.388649°
W  2.823486°		 →
↑
389.91 m
↓
↑
389.91 m
↓
N 71.385142°
W  2.834473°		 ← 389.95 m →
152 031 m²		 N 71.385142°
W  2.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492141723632812 y=0.212142944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492141723632812 × 215)
    floor (0.492141723632812 × 32768)
    floor (16126.5)     		tx = 16126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212142944335938 × 215)
    floor (0.212142944335938 × 32768)
    floor (6951.5)     		ty = 6951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16126 / 6951 ti = "15/16126/6951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16126/6951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16126 ÷ 215
    16126 ÷ 32768     		x = 0.49212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6951 ÷ 215
    6951 ÷ 32768     		y = 0.212127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04947088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212127685546875 × 2 - 1) × π
    0.57574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80875509646396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04947088} λ = -0.04947088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80875509646396))-π/2
    2×atan(6.10284524759051)-π/2
    2×1.40838164719779-π/2
    2.81676329439559-1.57079632675     		φ = 1.24596697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04947088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24596697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.388649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16126 KachelY 6951 -0.04947088 1.24596697 -2.834473 71.388649
    Oben rechts KachelX + 1 16127 KachelY 6951 -0.04927913 1.24596697 -2.823486 71.388649
    Unten links KachelX 16126 KachelY + 1 6952 -0.04947088 1.24590577 -2.834473 71.385142
    Unten rechts KachelX + 1 16127 KachelY + 1 6952 -0.04927913 1.24590577 -2.823486 71.385142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24596697-1.24590577) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dl = 389.905199999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24596697-1.24590577) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dr = 389.905199999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04947088--0.04927913) × cos(1.24596697) × R
    0.000191750000000004 × 0.319147071051519 × 6371000     		do = 389.882588519083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04947088--0.04927913) × cos(1.24590577) × R
    0.000191750000000004 × 0.31920507001208 × 6371000     		du = 389.953442325764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24596697)-sin(1.24590577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319147071051519-0.31920507001208)×R²
    abs(-0.04927913--0.04947088)×5.79989605607456e-05×R²
    0.000191750000000004×5.79989605607456e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.79989605607456e-05×40589641000000     		ar = 152031.061834355m²