Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16125 / 6949
↖ ↑ ↗
← N 71.395660°
W  2.845459°		 ← 389.74 m → N 71.395660°
W  2.834473°		 →
↑
389.78 m
↓
↑
389.78 m
↓
N 71.392155°
W  2.845459°		 ← 389.81 m →
151 926 m²		 N 71.392155°
W  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492111206054688 y=0.212081909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492111206054688 × 215)
    floor (0.492111206054688 × 32768)
    floor (16125.5)     		tx = 16125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212081909179688 × 215)
    floor (0.212081909179688 × 32768)
    floor (6949.5)     		ty = 6949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16125 / 6949 ti = "15/16125/6949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16125/6949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16125 ÷ 215
    16125 ÷ 32768     		x = 0.492095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6949 ÷ 215
    6949 ÷ 32768     		y = 0.212066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492095947265625 × 2 - 1) × π
    -0.01580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04966263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212066650390625 × 2 - 1) × π
    0.57586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80913859166092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04966263} λ = -0.04966263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80913859166092))-π/2
    2×atan(6.10518610825648)-π/2
    2×1.40844283176337-π/2
    2.81688566352673-1.57079632675     		φ = 1.24608934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04966263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.845459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24608934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.395660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16125 KachelY 6949 -0.04966263 1.24608934 -2.845459 71.395660
    Oben rechts KachelX + 1 16126 KachelY 6949 -0.04947088 1.24608934 -2.834473 71.395660
    Unten links KachelX 16125 KachelY + 1 6950 -0.04966263 1.24602816 -2.845459 71.392155
    Unten rechts KachelX + 1 16126 KachelY + 1 6950 -0.04947088 1.24602816 -2.834473 71.392155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24608934-1.24602816) × R
    6.1179999999883e-05 × 6371000     		dl = 389.777779999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24608934-1.24602816) × R
    6.1179999999883e-05 × 6371000     		dr = 389.777779999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04966263--0.04947088) × cos(1.24608934) × R
    0.000191749999999997 × 0.319031097976904 × 6371000     		do = 389.740911259176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04966263--0.04947088) × cos(1.24602816) × R
    0.000191749999999997 × 0.319089080372859 × 6371000     		du = 389.811744829884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24608934)-sin(1.24602816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319031097976904-0.319089080372859)×R²
    abs(-0.04947088--0.04966263)×5.79823959556136e-05×R²
    0.000191749999999997×5.79823959556136e-05×6371000²
    0.000191749999999997×5.79823959556136e-05×40589641000000     		ar = 151926.151888421m²