Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16123 / 7941
↖ ↑ ↗
← N 67.588287°
W  2.867431°		 ← 465.74 m → N 67.588287°
W  2.856446°		 →
↑
465.78 m
↓
↑
465.78 m
↓
N 67.584098°
W  2.867431°		 ← 465.82 m →
216 952 m²		 N 67.584098°
W  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492050170898438 y=0.242355346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492050170898438 × 215)
    floor (0.492050170898438 × 32768)
    floor (16123.5)     		tx = 16123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242355346679688 × 215)
    floor (0.242355346679688 × 32768)
    floor (7941.5)     		ty = 7941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16123 / 7941 ti = "15/16123/7941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16123/7941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16123 ÷ 215
    16123 ÷ 32768     		x = 0.492034912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7941 ÷ 215
    7941 ÷ 32768     		y = 0.242340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492034912109375 × 2 - 1) × π
    -0.01593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05004612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242340087890625 × 2 - 1) × π
    0.51531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61892497396854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05004612} λ = -0.05004612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61892497396854))-π/2
    2×atan(5.04766103176834)-π/2
    2×1.37521723256884-π/2
    2.75043446513768-1.57079632675     		φ = 1.17963814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05004612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.867431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17963814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.588287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16123 KachelY 7941 -0.05004612 1.17963814 -2.867431 67.588287
    Oben rechts KachelX + 1 16124 KachelY 7941 -0.04985438 1.17963814 -2.856446 67.588287
    Unten links KachelX 16123 KachelY + 1 7942 -0.05004612 1.17956503 -2.867431 67.584098
    Unten rechts KachelX + 1 16124 KachelY + 1 7942 -0.04985438 1.17956503 -2.856446 67.584098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17963814-1.17956503) × R
    7.31099999999874e-05 × 6371000     		dl = 465.783809999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17963814-1.17956503) × R
    7.31099999999874e-05 × 6371000     		dr = 465.783809999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05004612--0.04985438) × cos(1.17963814) × R
    0.000191740000000003 × 0.381259377351575 × 6371000     		do = 465.737129768321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05004612--0.04985438) × cos(1.17956503) × R
    0.000191740000000003 × 0.381326964196139 × 6371000     		du = 465.819692204465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17963814)-sin(1.17956503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381259377351575-0.381326964196139)×R²
    abs(-0.04985438--0.05004612)×6.75868445630945e-05×R²
    0.000191740000000003×6.75868445630945e-05×6371000²
    0.000191740000000003×6.75868445630945e-05×40589641000000     		ar = 216952.042981637m²