Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16123 / 6953
↖ ↑ ↗
← N 71.381635°
W  2.867431°		 ← 390 m → N 71.381635°
W  2.856446°		 →
↑
390.03 m
↓
↑
390.03 m
↓
N 71.378127°
W  2.867431°		 ← 390.07 m →
152 128 m²		 N 71.378127°
W  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492050170898438 y=0.212203979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492050170898438 × 215)
    floor (0.492050170898438 × 32768)
    floor (16123.5)     		tx = 16123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212203979492188 × 215)
    floor (0.212203979492188 × 32768)
    floor (6953.5)     		ty = 6953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16123 / 6953 ti = "15/16123/6953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16123/6953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16123 ÷ 215
    16123 ÷ 32768     		x = 0.492034912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6953 ÷ 215
    6953 ÷ 32768     		y = 0.212188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492034912109375 × 2 - 1) × π
    -0.01593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05004612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212188720703125 × 2 - 1) × π
    0.57562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.808371601267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05004612} λ = -0.05004612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.808371601267))-π/2
    2×atan(6.10050528446126)-π/2
    2×1.40832044039123-π/2
    2.81664088078247-1.57079632675     		φ = 1.24584455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05004612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.867431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24584455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.381635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16123 KachelY 6953 -0.05004612 1.24584455 -2.867431 71.381635
    Oben rechts KachelX + 1 16124 KachelY 6953 -0.04985438 1.24584455 -2.856446 71.381635
    Unten links KachelX 16123 KachelY + 1 6954 -0.05004612 1.24578333 -2.867431 71.378127
    Unten rechts KachelX + 1 16124 KachelY + 1 6954 -0.04985438 1.24578333 -2.856446 71.378127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24584455-1.24578333) × R
    6.12199999998619e-05 × 6371000     		dl = 390.03261999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24584455-1.24578333) × R
    6.12199999998619e-05 × 6371000     		dr = 390.03261999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05004612--0.04985438) × cos(1.24584455) × R
    0.000191740000000003 × 0.3192630867304 × 6371000     		do = 390.003977574761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05004612--0.04985438) × cos(1.24578333) × R
    0.000191740000000003 × 0.319321102252157 × 6371000     		du = 390.07484791708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24584455)-sin(1.24578333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3192630867304-0.319321102252157)×R²
    abs(-0.04985438--0.05004612)×5.80155217573264e-05×R²
    0.000191740000000003×5.80155217573264e-05×6371000²
    0.000191740000000003×5.80155217573264e-05×40589641000000     		ar = 152128.09410342m²