Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16119 / 6904
↖ ↑ ↗
← N 71.552740°
W  2.911377°		 ← 386.55 m → N 71.552740°
W  2.900391°		 →
↑
386.59 m
↓
↑
386.59 m
↓
N 71.549264°
W  2.911377°		 ← 386.62 m →
149 449 m²		 N 71.549264°
W  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491928100585938 y=0.210708618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491928100585938 × 215)
    floor (0.491928100585938 × 32768)
    floor (16119.5)     		tx = 16119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210708618164062 × 215)
    floor (0.210708618164062 × 32768)
    floor (6904.5)     		ty = 6904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16119 / 6904 ti = "15/16119/6904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16119/6904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16119 ÷ 215
    16119 ÷ 32768     		x = 0.491912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6904 ÷ 215
    6904 ÷ 32768     		y = 0.210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.01617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05081311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210693359375 × 2 - 1) × π
    0.57861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05081311} λ = -0.05081311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81776723359253))-π/2
    2×atan(6.15809350433747)-π/2
    2×1.4098136199856-π/2
    2.8196272399712-1.57079632675     		φ = 1.24883091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05081311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.911377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24883091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.552740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16119 KachelY 6904 -0.05081311 1.24883091 -2.911377 71.552740
    Oben rechts KachelX + 1 16120 KachelY 6904 -0.05062137 1.24883091 -2.900391 71.552740
    Unten links KachelX 16119 KachelY + 1 6905 -0.05081311 1.24877023 -2.911377 71.549264
    Unten rechts KachelX + 1 16120 KachelY + 1 6905 -0.05062137 1.24877023 -2.900391 71.549264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24883091-1.24877023) × R
    6.06799999998131e-05 × 6371000     		dl = 386.592279998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24883091-1.24877023) × R
    6.06799999998131e-05 × 6371000     		dr = 386.592279998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05081311--0.05062137) × cos(1.24883091) × R
    0.000191740000000003 × 0.316431595084411 × 6371000     		do = 386.545096638306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05081311--0.05062137) × cos(1.24877023) × R
    0.000191740000000003 × 0.316489156480082 × 6371000     		du = 386.615412231306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24883091)-sin(1.24877023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316431595084411-0.316489156480082)×R²
    abs(-0.05062137--0.05081311)×5.75613956707577e-05×R²
    0.000191740000000003×5.75613956707577e-05×6371000²
    0.000191740000000003×5.75613956707577e-05×40589641000000     		ar = 149448.942010323m²