Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16117 / 6904
↖ ↑ ↗
← N 71.552740°
W  2.933350°		 ← 386.57 m → N 71.552740°
W  2.922363°		 →
↑
386.59 m
↓
↑
386.59 m
↓
N 71.549264°
W  2.933350°		 ← 386.64 m →
149 457 m²		 N 71.549264°
W  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491867065429688 y=0.210708618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491867065429688 × 215)
    floor (0.491867065429688 × 32768)
    floor (16117.5)     		tx = 16117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210708618164062 × 215)
    floor (0.210708618164062 × 32768)
    floor (6904.5)     		ty = 6904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16117 / 6904 ti = "15/16117/6904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16117/6904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16117 ÷ 215
    16117 ÷ 32768     		x = 0.491851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6904 ÷ 215
    6904 ÷ 32768     		y = 0.210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.01629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05119661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210693359375 × 2 - 1) × π
    0.57861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05119661} λ = -0.05119661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81776723359253))-π/2
    2×atan(6.15809350433747)-π/2
    2×1.4098136199856-π/2
    2.8196272399712-1.57079632675     		φ = 1.24883091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05119661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.933350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24883091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.552740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16117 KachelY 6904 -0.05119661 1.24883091 -2.933350 71.552740
    Oben rechts KachelX + 1 16118 KachelY 6904 -0.05100486 1.24883091 -2.922363 71.552740
    Unten links KachelX 16117 KachelY + 1 6905 -0.05119661 1.24877023 -2.933350 71.549264
    Unten rechts KachelX + 1 16118 KachelY + 1 6905 -0.05100486 1.24877023 -2.922363 71.549264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24883091-1.24877023) × R
    6.06799999998131e-05 × 6371000     		dl = 386.592279998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24883091-1.24877023) × R
    6.06799999998131e-05 × 6371000     		dr = 386.592279998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05119661--0.05100486) × cos(1.24883091) × R
    0.000191749999999997 × 0.316431595084411 × 6371000     		do = 386.565256495218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05119661--0.05100486) × cos(1.24877023) × R
    0.000191749999999997 × 0.316489156480082 × 6371000     		du = 386.635575755455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24883091)-sin(1.24877023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316431595084411-0.316489156480082)×R²
    abs(-0.05100486--0.05119661)×5.75613956707577e-05×R²
    0.000191749999999997×5.75613956707577e-05×6371000²
    0.000191749999999997×5.75613956707577e-05×40589641000000     		ar = 149456.736364236m²