Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16117 / 18886
↖ ↑ ↗
← S 26.490241°
W  2.933350°		 ← 1 093.38 m → S 26.490241°
W  2.922363°		 →
↑
1 093.26 m
↓
↑
1 093.26 m
↓
S 26.500073°
W  2.933350°		 ← 1 093.29 m →
1 195 301 m²		 S 26.500073°
W  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491867065429688 y=0.576370239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491867065429688 × 215)
    floor (0.491867065429688 × 32768)
    floor (16117.5)     		tx = 16117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576370239257812 × 215)
    floor (0.576370239257812 × 32768)
    floor (18886.5)     		ty = 18886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16117 / 18886 ti = "15/16117/18886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16117/18886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16117 ÷ 215
    16117 ÷ 32768     		x = 0.491851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18886 ÷ 215
    18886 ÷ 32768     		y = 0.57635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.01629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05119661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.1527099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.479752491397522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05119661} λ = -0.05119661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479752491397522))-π/2
    2×atan(0.61893656497374)-π/2
    2×0.554227205577441-π/2
    1.10845441115488-1.57079632675     		φ = -0.46234192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05119661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.933350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46234192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.490241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16117 KachelY 18886 -0.05119661 -0.46234192 -2.933350 -26.490241
    Oben rechts KachelX + 1 16118 KachelY 18886 -0.05100486 -0.46234192 -2.922363 -26.490241
    Unten links KachelX 16117 KachelY + 1 18887 -0.05119661 -0.46251352 -2.933350 -26.500073
    Unten rechts KachelX + 1 16118 KachelY + 1 18887 -0.05100486 -0.46251352 -2.922363 -26.500073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46234192--0.46251352) × R
    0.000171599999999994 × 6371000     		dl = 1093.26359999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46234192--0.46251352) × R
    0.000171599999999994 × 6371000     		dr = 1093.26359999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05119661--0.05100486) × cos(-0.46234192) × R
    0.000191749999999997 × 0.895010350286399 × 6371000     		do = 1093.3797730661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05119661--0.05100486) × cos(-0.46251352) × R
    0.000191749999999997 × 0.894933795723644 × 6371000     		du = 1093.28625100747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46234192)-sin(-0.46251352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895010350286399-0.894933795723644)×R²
    abs(-0.05100486--0.05119661)×7.65545627546826e-05×R²
    0.000191749999999997×7.65545627546826e-05×6371000²
    0.000191749999999997×7.65545627546826e-05×40589641000000     		ar = 1195301.18767109m²