Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16111 / 18878
↖ ↑ ↗
← S 26.411551°
W  2.999267°		 ← 1 094.07 m → S 26.411551°
W  2.988281°		 →
↑
1 094.03 m
↓
↑
1 094.03 m
↓
S 26.421390°
W  2.999267°		 ← 1 093.98 m →
1 196 892 m²		 S 26.421390°
W  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491683959960938 y=0.576126098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491683959960938 × 215)
    floor (0.491683959960938 × 32768)
    floor (16111.5)     		tx = 16111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576126098632812 × 215)
    floor (0.576126098632812 × 32768)
    floor (18878.5)     		ty = 18878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16111 / 18878 ti = "15/16111/18878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16111/18878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16111 ÷ 215
    16111 ÷ 32768     		x = 0.491668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18878 ÷ 215
    18878 ÷ 32768     		y = 0.57611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.01666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05234709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.1522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.47821851060968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05234709} λ = -0.05234709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47821851060968))-π/2
    2×atan(0.619886730354703)-π/2
    2×0.554913904605833-π/2
    1.10982780921167-1.57079632675     		φ = -0.46096852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05234709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.999267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46096852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.411551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16111 KachelY 18878 -0.05234709 -0.46096852 -2.999267 -26.411551
    Oben rechts KachelX + 1 16112 KachelY 18878 -0.05215535 -0.46096852 -2.988281 -26.411551
    Unten links KachelX 16111 KachelY + 1 18879 -0.05234709 -0.46114024 -2.999267 -26.421390
    Unten rechts KachelX + 1 16112 KachelY + 1 18879 -0.05215535 -0.46114024 -2.988281 -26.421390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46096852--0.46114024) × R
    0.000171719999999986 × 6371000     		dl = 1094.02811999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46096852--0.46114024) × R
    0.000171719999999986 × 6371000     		dr = 1094.02811999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05234709--0.05215535) × cos(-0.46096852) × R
    0.000191739999999996 × 0.895622104709715 × 6371000     		do = 1094.07005619668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05234709--0.05215535) × cos(-0.46114024) × R
    0.000191739999999996 × 0.895545707745694 × 6371000     		du = 1093.9767315341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46096852)-sin(-0.46114024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895622104709715-0.895545707745694)×R²
    abs(-0.05215535--0.05234709)×7.63969640212858e-05×R²
    0.000191739999999996×7.63969640212858e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.63969640212858e-05×40589641000000     		ar = 1196892.35976739m²