Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16105 / 6918
↖ ↑ ↗
← N 71.504009°
W  3.065186°		 ← 387.55 m → N 71.504009°
W  3.054199°		 →
↑
387.55 m
↓
↑
387.55 m
↓
N 71.500523°
W  3.065186°		 ← 387.62 m →
150 208 m²		 N 71.500523°
W  3.054199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491500854492188 y=0.211135864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491500854492188 × 215)
    floor (0.491500854492188 × 32768)
    floor (16105.5)     		tx = 16105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211135864257812 × 215)
    floor (0.211135864257812 × 32768)
    floor (6918.5)     		ty = 6918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16105 / 6918 ti = "15/16105/6918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16105/6918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16105 ÷ 215
    16105 ÷ 32768     		x = 0.491485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6918 ÷ 215
    6918 ÷ 32768     		y = 0.21112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.01702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05349758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21112060546875 × 2 - 1) × π
    0.5777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81508276721381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05349758} λ = -0.05349758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81508276721381))-π/2
    2×atan(6.14158447824495)-π/2
    2×1.40938835380587-π/2
    2.81877670761173-1.57079632675     		φ = 1.24798038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05349758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.065186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24798038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.504009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16105 KachelY 6918 -0.05349758 1.24798038 -3.065186 71.504009
    Oben rechts KachelX + 1 16106 KachelY 6918 -0.05330583 1.24798038 -3.054199 71.504009
    Unten links KachelX 16105 KachelY + 1 6919 -0.05349758 1.24791955 -3.065186 71.500523
    Unten rechts KachelX + 1 16106 KachelY + 1 6919 -0.05330583 1.24791955 -3.054199 71.500523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24798038-1.24791955) × R
    6.08300000000117e-05 × 6371000     		dl = 387.547930000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24798038-1.24791955) × R
    6.08300000000117e-05 × 6371000     		dr = 387.547930000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05349758--0.05330583) × cos(1.24798038) × R
    0.000191750000000004 × 0.317238306330848 × 6371000     		do = 387.550766617296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05349758--0.05330583) × cos(1.24791955) × R
    0.000191750000000004 × 0.317295993622117 × 6371000     		du = 387.621239676536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24798038)-sin(1.24791955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317238306330848-0.317295993622117)×R²
    abs(-0.05330583--0.05349758)×5.76872912687598e-05×R²
    0.000191750000000004×5.76872912687598e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.76872912687598e-05×40589641000000     		ar = 150208.153262461m²