Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16100 / 8093
↖ ↑ ↗
← N 66.942972°
W  3.120117°		 ← 478.45 m → N 66.942972°
W  3.109131°		 →
↑
478.46 m
↓
↑
478.46 m
↓
N 66.938669°
W  3.120117°		 ← 478.54 m →
228 941 m²		 N 66.938669°
W  3.109131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491348266601562 y=0.246994018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491348266601562 × 215)
    floor (0.491348266601562 × 32768)
    floor (16100.5)     		tx = 16100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246994018554688 × 215)
    floor (0.246994018554688 × 32768)
    floor (8093.5)     		ty = 8093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16100 / 8093 ti = "15/16100/8093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16100/8093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16100 ÷ 215
    16100 ÷ 32768     		x = 0.4913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8093 ÷ 215
    8093 ÷ 32768     		y = 0.246978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.017333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05445632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246978759765625 × 2 - 1) × π
    0.50604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58977933899954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05445632} λ = -0.05445632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58977933899954))-π/2
    2×atan(4.90266698155822)-π/2
    2×1.36958579933694-π/2
    2.73917159867389-1.57079632675     		φ = 1.16837527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05445632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.120117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16837527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.942972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16100 KachelY 8093 -0.05445632 1.16837527 -3.120117 66.942972
    Oben rechts KachelX + 1 16101 KachelY 8093 -0.05426457 1.16837527 -3.109131 66.942972
    Unten links KachelX 16100 KachelY + 1 8094 -0.05445632 1.16830017 -3.120117 66.938669
    Unten rechts KachelX + 1 16101 KachelY + 1 8094 -0.05426457 1.16830017 -3.109131 66.938669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16837527-1.16830017) × R
    7.51000000001056e-05 × 6371000     		dl = 478.462100000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16837527-1.16830017) × R
    7.51000000001056e-05 × 6371000     		dr = 478.462100000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05445632--0.05426457) × cos(1.16837527) × R
    0.000191750000000004 × 0.391647139817858 × 6371000     		do = 478.451518151744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05445632--0.05426457) × cos(1.16830017) × R
    0.000191750000000004 × 0.391716239386765 × 6371000     		du = 478.535932897279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16837527)-sin(1.16830017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391647139817858-0.391716239386765)×R²
    abs(-0.05426457--0.05445632)×6.9099568906994e-05×R²
    0.000191750000000004×6.9099568906994e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.9099568906994e-05×40589641000000     		ar = 228941.112858956m²