Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1610 / 1557
↖ ↑ ↗
← S 67.941650°
E103.007812°		 ← 7 340.50 m → S 67.941650°
E103.183593°		 →
↑
7 330.09 m
↓
↑
7 330.09 m
↓
S 68.007571°
E103.007812°		 ← 7 319.66 m →
53 730 149 m²		 S 68.007571°
E103.183593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786376953125 y=0.760498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786376953125 × 211)
    floor (0.786376953125 × 2048)
    floor (1610.5)     		tx = 1610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760498046875 × 211)
    floor (0.760498046875 × 2048)
    floor (1557.5)     		ty = 1557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1610 / 1557 ti = "11/1610/1557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1610/1557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1610 ÷ 211
    1610 ÷ 2048     		x = 0.7861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1557 ÷ 211
    1557 ÷ 2048     		y = 0.76025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7861328125 × 2 - 1) × π
    0.572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79782548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76025390625 × 2 - 1) × π
    -0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79782548} λ = 1.79782548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63522351983936))-π/2
    2×atan(0.194908800446124)-π/2
    2×0.192495417229057-π/2
    0.384990834458114-1.57079632675     		φ = -1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79782548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.007812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1610 KachelY 1557 1.79782548 -1.18580549 103.007812 -67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 1611 KachelY 1557 1.80089344 -1.18580549 103.183593 -67.941650
    Unten links KachelX 1610 KachelY + 1 1558 1.79782548 -1.18695603 103.007812 -68.007571
    Unten rechts KachelX + 1 1611 KachelY + 1 1558 1.80089344 -1.18695603 103.183593 -68.007571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18580549--1.18695603) × R
    0.00115054000000003 × 6371000     		dl = 7330.09034000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18580549--1.18695603) × R
    0.00115054000000003 × 6371000     		dr = 7330.09034000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79782548-1.80089344) × cos(-1.18580549) × R
    0.00306796000000009 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 7340.50281346648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79782548-1.80089344) × cos(-1.18695603) × R
    0.00306796000000009 × 0.374484073328689 × 6371000     		du = 7319.65564613025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18580549)-sin(-1.18695603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.374484073328689)×R²
    abs(1.80089344-1.79782548)×0.00106657095891732×R²
    0.00306796000000009×0.00106657095891732×6371000²
    0.00306796000000009×0.00106657095891732×40589641000000     		ar = 53730148.880862m²