Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16099 / 8094
↖ ↑ ↗
← N 66.938669°
W  3.131104°		 ← 478.54 m → N 66.938669°
W  3.120117°		 →
↑
478.59 m
↓
↑
478.59 m
↓
N 66.934365°
W  3.131104°		 ← 478.62 m →
229 042 m²		 N 66.934365°
W  3.120117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491317749023438 y=0.247024536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491317749023438 × 215)
    floor (0.491317749023438 × 32768)
    floor (16099.5)     		tx = 16099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247024536132812 × 215)
    floor (0.247024536132812 × 32768)
    floor (8094.5)     		ty = 8094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16099 / 8094 ti = "15/16099/8094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16099/8094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16099 ÷ 215
    16099 ÷ 32768     		x = 0.491302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8094 ÷ 215
    8094 ÷ 32768     		y = 0.24700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.01739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05464807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24700927734375 × 2 - 1) × π
    0.5059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58958759140106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05464807} λ = -0.05464807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58958759140106))-π/2
    2×atan(4.90172699706113)-π/2
    2×1.36954824732534-π/2
    2.73909649465067-1.57079632675     		φ = 1.16830017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05464807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.131104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16830017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.938669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16099 KachelY 8094 -0.05464807 1.16830017 -3.131104 66.938669
    Oben rechts KachelX + 1 16100 KachelY 8094 -0.05445632 1.16830017 -3.120117 66.938669
    Unten links KachelX 16099 KachelY + 1 8095 -0.05464807 1.16822505 -3.131104 66.934365
    Unten rechts KachelX + 1 16100 KachelY + 1 8095 -0.05445632 1.16822505 -3.120117 66.934365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16830017-1.16822505) × R
    7.51199999999841e-05 × 6371000     		dl = 478.589519999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16830017-1.16822505) × R
    7.51199999999841e-05 × 6371000     		dr = 478.589519999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05464807--0.05445632) × cos(1.16830017) × R
    0.000191749999999997 × 0.391716239386765 × 6371000     		do = 478.535932897262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05464807--0.05445632) × cos(1.16822505) × R
    0.000191749999999997 × 0.391785355147522 × 6371000     		du = 478.620367423396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16830017)-sin(1.16822505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391716239386765-0.391785355147522)×R²
    abs(-0.05445632--0.05464807)×6.91157607564108e-05×R²
    0.000191749999999997×6.91157607564108e-05×6371000²
    0.000191749999999997×6.91157607564108e-05×40589641000000     		ar = 229042.487274986m²