Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16098 / 8095
↖ ↑ ↗
← N 66.934365°
W  3.142090°		 ← 478.60 m → N 66.934365°
W  3.131104°		 →
↑
478.65 m
↓
↑
478.65 m
↓
N 66.930060°
W  3.142090°		 ← 478.68 m →
229 101 m²		 N 66.930060°
W  3.131104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491287231445312 y=0.247055053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491287231445312 × 215)
    floor (0.491287231445312 × 32768)
    floor (16098.5)     		tx = 16098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247055053710938 × 215)
    floor (0.247055053710938 × 32768)
    floor (8095.5)     		ty = 8095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16098 / 8095 ti = "15/16098/8095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16098/8095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16098 ÷ 215
    16098 ÷ 32768     		x = 0.49127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8095 ÷ 215
    8095 ÷ 32768     		y = 0.247039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.0174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05483981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247039794921875 × 2 - 1) × π
    0.50592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58939584380258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05483981} λ = -0.05483981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58939584380258))-π/2
    2×atan(4.90078719278652)-π/2
    2×1.36951068868806-π/2
    2.73902137737612-1.57079632675     		φ = 1.16822505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05483981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.142090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16822505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.934365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16098 KachelY 8095 -0.05483981 1.16822505 -3.142090 66.934365
    Oben rechts KachelX + 1 16099 KachelY 8095 -0.05464807 1.16822505 -3.131104 66.934365
    Unten links KachelX 16098 KachelY + 1 8096 -0.05483981 1.16814992 -3.142090 66.930060
    Unten rechts KachelX + 1 16099 KachelY + 1 8096 -0.05464807 1.16814992 -3.131104 66.930060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16822505-1.16814992) × R
    7.51299999999233e-05 × 6371000     		dl = 478.653229999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16822505-1.16814992) × R
    7.51299999999233e-05 × 6371000     		dr = 478.653229999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05483981--0.05464807) × cos(1.16822505) × R
    0.000191740000000003 × 0.391785355147522 × 6371000     		do = 478.595406778432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05483981--0.05464807) × cos(1.16814992) × R
    0.000191740000000003 × 0.3918544778977 × 6371000     		du = 478.679845439307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16822505)-sin(1.16814992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391785355147522-0.3918544778977)×R²
    abs(-0.05464807--0.05483981)×6.91227501781189e-05×R²
    0.000191740000000003×6.91227501781189e-05×6371000²
    0.000191740000000003×6.91227501781189e-05×40589641000000     		ar = 229101.445844594m²