Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16096 / 6942
↖ ↑ ↗
← N 71.420179°
W  3.164063°		 ← 389.25 m → N 71.420179°
W  3.153076°		 →
↑
389.27 m
↓
↑
389.27 m
↓
N 71.416678°
W  3.164063°		 ← 389.32 m →
151 535 m²		 N 71.416678°
W  3.153076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491226196289062 y=0.211868286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491226196289062 × 215)
    floor (0.491226196289062 × 32768)
    floor (16096.5)     		tx = 16096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211868286132812 × 215)
    floor (0.211868286132812 × 32768)
    floor (6942.5)     		ty = 6942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16096 / 6942 ti = "15/16096/6942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16096/6942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16096 ÷ 215
    16096 ÷ 32768     		x = 0.4912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6942 ÷ 215
    6942 ÷ 32768     		y = 0.21185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21185302734375 × 2 - 1) × π
    0.5762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81048082485028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05522331} λ = -0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81048082485028))-π/2
    2×atan(6.1133861936605)-π/2
    2×1.40865680269858-π/2
    2.81731360539716-1.57079632675     		φ = 1.24651728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24651728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.420179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16096 KachelY 6942 -0.05522331 1.24651728 -3.164063 71.420179
    Oben rechts KachelX + 1 16097 KachelY 6942 -0.05503156 1.24651728 -3.153076 71.420179
    Unten links KachelX 16096 KachelY + 1 6943 -0.05522331 1.24645618 -3.164063 71.416678
    Unten rechts KachelX + 1 16097 KachelY + 1 6943 -0.05503156 1.24645618 -3.153076 71.416678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24651728-1.24645618) × R
    6.10999999999251e-05 × 6371000     		dl = 389.268099999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24651728-1.24645618) × R
    6.10999999999251e-05 × 6371000     		dr = 389.268099999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05522331--0.05503156) × cos(1.24651728) × R
    0.000191749999999997 × 0.318625491103537 × 6371000     		do = 389.245405982601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05522331--0.05503156) × cos(1.24645618) × R
    0.000191749999999997 × 0.318683406018717 × 6371000     		du = 389.316157116145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24651728)-sin(1.24645618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318625491103537-0.318683406018717)×R²
    abs(-0.05503156--0.05522331)×5.79149151797576e-05×R²
    0.000191749999999997×5.79149151797576e-05×6371000²
    0.000191749999999997×5.79149151797576e-05×40589641000000     		ar = 151534.590247125m²