Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16096 / 19360
↖ ↑ ↗
← S 31.052934°
W  3.164063°		 ← 1 046.57 m → S 31.052934°
W  3.153076°		 →
↑
1 046.50 m
↓
↑
1 046.50 m
↓
S 31.062345°
W  3.164063°		 ← 1 046.46 m →
1 095 179 m²		 S 31.062345°
W  3.153076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491226196289062 y=0.590835571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491226196289062 × 215)
    floor (0.491226196289062 × 32768)
    floor (16096.5)     		tx = 16096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590835571289062 × 215)
    floor (0.590835571289062 × 32768)
    floor (19360.5)     		ty = 19360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16096 / 19360 ti = "15/16096/19360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16096/19360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16096 ÷ 215
    16096 ÷ 32768     		x = 0.4912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19360 ÷ 215
    19360 ÷ 32768     		y = 0.5908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5908203125 × 2 - 1) × π
    -0.181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.570640853077148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05522331} λ = -0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570640853077148))-π/2
    2×atan(0.565163136085713)-π/2
    2×0.514410193176934-π/2
    1.02882038635387-1.57079632675     		φ = -0.54197594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54197594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.052934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16096 KachelY 19360 -0.05522331 -0.54197594 -3.164063 -31.052934
    Oben rechts KachelX + 1 16097 KachelY 19360 -0.05503156 -0.54197594 -3.153076 -31.052934
    Unten links KachelX 16096 KachelY + 1 19361 -0.05522331 -0.54214020 -3.164063 -31.062345
    Unten rechts KachelX + 1 16097 KachelY + 1 19361 -0.05503156 -0.54214020 -3.153076 -31.062345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54197594--0.54214020) × R
    0.000164259999999916 × 6371000     		dl = 1046.50045999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54197594--0.54214020) × R
    0.000164259999999916 × 6371000     		dr = 1046.50045999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05522331--0.05503156) × cos(-0.54197594) × R
    0.000191749999999997 × 0.856691105761415 × 6371000     		do = 1046.56747992403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05522331--0.05503156) × cos(-0.54214020) × R
    0.000191749999999997 × 0.856606364006803 × 6371000     		du = 1046.46395607048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54197594)-sin(-0.54214020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856691105761415-0.856606364006803)×R²
    abs(-0.05503156--0.05522331)×8.47417546117057e-05×R²
    0.000191749999999997×8.47417546117057e-05×6371000²
    0.000191749999999997×8.47417546117057e-05×40589641000000     		ar = 1095179.18274365m²