Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16091 / 8087
↖ ↑ ↗
← N 66.968775°
W  3.218994°		 ← 477.95 m → N 66.968775°
W  3.208008°		 →
↑
478.02 m
↓
↑
478.02 m
↓
N 66.964476°
W  3.218994°		 ← 478.03 m →
228 486 m²		 N 66.964476°
W  3.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491073608398438 y=0.246810913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491073608398438 × 215)
    floor (0.491073608398438 × 32768)
    floor (16091.5)     		tx = 16091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246810913085938 × 215)
    floor (0.246810913085938 × 32768)
    floor (8087.5)     		ty = 8087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16091 / 8087 ti = "15/16091/8087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16091/8087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16091 ÷ 215
    16091 ÷ 32768     		x = 0.491058349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8087 ÷ 215
    8087 ÷ 32768     		y = 0.246795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491058349609375 × 2 - 1) × π
    -0.01788330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05618205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246795654296875 × 2 - 1) × π
    0.50640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59092982459042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05618205} λ = -0.05618205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59092982459042))-π/2
    2×atan(4.90831067514896)-π/2
    2×1.36981097232107-π/2
    2.73962194464215-1.57079632675     		φ = 1.16882562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05618205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.218994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16882562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.968775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16091 KachelY 8087 -0.05618205 1.16882562 -3.218994 66.968775
    Oben rechts KachelX + 1 16092 KachelY 8087 -0.05599030 1.16882562 -3.208008 66.968775
    Unten links KachelX 16091 KachelY + 1 8088 -0.05618205 1.16875059 -3.218994 66.964476
    Unten rechts KachelX + 1 16092 KachelY + 1 8088 -0.05599030 1.16875059 -3.208008 66.964476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16882562-1.16875059) × R
    7.5030000000087e-05 × 6371000     		dl = 478.016130000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16882562-1.16875059) × R
    7.5030000000087e-05 × 6371000     		dr = 478.016130000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05618205--0.05599030) × cos(1.16882562) × R
    0.000191749999999997 × 0.391232726104245 × 6371000     		do = 477.945254093439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05618205--0.05599030) × cos(1.16875059) × R
    0.000191749999999997 × 0.391301774494954 × 6371000     		du = 478.029606317678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16882562)-sin(1.16875059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391232726104245-0.391301774494954)×R²
    abs(-0.05599030--0.05618205)×6.90483907089812e-05×R²
    0.000191749999999997×6.90483907089812e-05×6371000²
    0.000191749999999997×6.90483907089812e-05×40589641000000     		ar = 228485.701683265m²