Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16085 / 6933
↖ ↑ ↗
← N 71.451658°
W  3.284912°		 ← 388.61 m → N 71.451658°
W  3.273926°		 →
↑
388.63 m
↓
↑
388.63 m
↓
N 71.448163°
W  3.284912°		 ← 388.68 m →
151 039 m²		 N 71.448163°
W  3.273926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490890502929688 y=0.211593627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490890502929688 × 215)
    floor (0.490890502929688 × 32768)
    floor (16085.5)     		tx = 16085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211593627929688 × 215)
    floor (0.211593627929688 × 32768)
    floor (6933.5)     		ty = 6933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16085 / 6933 ti = "15/16085/6933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16085/6933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16085 ÷ 215
    16085 ÷ 32768     		x = 0.490875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6933 ÷ 215
    6933 ÷ 32768     		y = 0.211578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.01824951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05733253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211578369140625 × 2 - 1) × π
    0.57684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8122065532366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05733253} λ = -0.05733253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8122065532366))-π/2
    2×atan(6.12394534624558)-π/2
    2×1.40893150847219-π/2
    2.81786301694439-1.57079632675     		φ = 1.24706669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05733253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.284912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24706669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.451658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16085 KachelY 6933 -0.05733253 1.24706669 -3.284912 71.451658
    Oben rechts KachelX + 1 16086 KachelY 6933 -0.05714078 1.24706669 -3.273926 71.451658
    Unten links KachelX 16085 KachelY + 1 6934 -0.05733253 1.24700569 -3.284912 71.448163
    Unten rechts KachelX + 1 16086 KachelY + 1 6934 -0.05714078 1.24700569 -3.273926 71.448163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24706669-1.24700569) × R
    6.10000000000888e-05 × 6371000     		dl = 388.631000000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24706669-1.24700569) × R
    6.10000000000888e-05 × 6371000     		dr = 388.631000000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05733253--0.05714078) × cos(1.24706669) × R
    0.000191749999999997 × 0.318104667912832 × 6371000     		do = 388.609147930527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05733253--0.05714078) × cos(1.24700569) × R
    0.000191749999999997 × 0.318162498712549 × 6371000     		du = 388.679796305319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24706669)-sin(1.24700569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318104667912832-0.318162498712549)×R²
    abs(-0.05714078--0.05733253)×5.78307997163297e-05×R²
    0.000191749999999997×5.78307997163297e-05×6371000²
    0.000191749999999997×5.78307997163297e-05×40589641000000     		ar = 151039.289891314m²