Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1607 / 1508
↖ ↑ ↗
← S 64.472794°
E102.480469°		 ← 8 423.13 m → S 64.472794°
E102.656250°		 →
↑
8 411.50 m
↓
↑
8 411.50 m
↓
S 64.548440°
E102.480469°		 ← 8 399.84 m →
70 753 268 m²		 S 64.548440°
E102.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784912109375 y=0.736572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784912109375 × 211)
    floor (0.784912109375 × 2048)
    floor (1607.5)     		tx = 1607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736572265625 × 211)
    floor (0.736572265625 × 2048)
    floor (1508.5)     		ty = 1508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1607 / 1508 ti = "11/1607/1508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1607/1508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1607 ÷ 211
    1607 ÷ 2048     		x = 0.78466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1508 ÷ 211
    1508 ÷ 2048     		y = 0.736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78466796875 × 2 - 1) × π
    0.5693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78862160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736328125 × 2 - 1) × π
    -0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78862160} λ = 1.78862160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48489340263086))-π/2
    2×atan(0.226526486517008)-π/2
    2×0.222766898346654-π/2
    0.445533796693309-1.57079632675     		φ = -1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78862160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1607 KachelY 1508 1.78862160 -1.12526253 102.480469 -64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 1608 KachelY 1508 1.79168956 -1.12526253 102.656250 -64.472794
    Unten links KachelX 1607 KachelY + 1 1509 1.78862160 -1.12658281 102.480469 -64.548440
    Unten rechts KachelX + 1 1608 KachelY + 1 1509 1.79168956 -1.12658281 102.656250 -64.548440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12526253--1.12658281) × R
    0.00132027999999984 × 6371000     		dl = 8411.50387999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12526253--1.12658281) × R
    0.00132027999999984 × 6371000     		dr = 8411.50387999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78862160-1.79168956) × cos(-1.12526253) × R
    0.00306796000000009 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 8423.13443435074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78862160-1.79168956) × cos(-1.12658281) × R
    0.00306796000000009 × 0.429747859113903 × 6371000     		du = 8399.84011980805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12526253)-sin(-1.12658281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.429747859113903)×R²
    abs(1.79168956-1.78862160)×0.00119177051723152×R²
    0.00306796000000009×0.00119177051723152×6371000²
    0.00306796000000009×0.00119177051723152×40589641000000     		ar = 70753268.1454396m²