Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16062 / 6986
↖ ↑ ↗
← N 71.265539°
W  3.537598°		 ← 392.37 m → N 71.265539°
W  3.526611°		 →
↑
392.39 m
↓
↑
392.39 m
↓
N 71.262010°
W  3.537598°		 ← 392.44 m →
153 976 m²		 N 71.262010°
W  3.526611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490188598632812 y=0.213211059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490188598632812 × 215)
    floor (0.490188598632812 × 32768)
    floor (16062.5)     		tx = 16062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213211059570312 × 215)
    floor (0.213211059570312 × 32768)
    floor (6986.5)     		ty = 6986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16062 / 6986 ti = "15/16062/6986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16062/6986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16062 ÷ 215
    16062 ÷ 32768     		x = 0.49017333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6986 ÷ 215
    6986 ÷ 32768     		y = 0.21319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.0196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06174273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21319580078125 × 2 - 1) × π
    0.5736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.80204393051715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06174273} λ = -0.06174273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80204393051715))-π/2
    2×atan(6.06202516875814)-π/2
    2×1.40730731065554-π/2
    2.81461462131109-1.57079632675     		φ = 1.24381829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06174273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24381829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.265539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16062 KachelY 6986 -0.06174273 1.24381829 -3.537598 71.265539
    Oben rechts KachelX + 1 16063 KachelY 6986 -0.06155098 1.24381829 -3.526611 71.265539
    Unten links KachelX 16062 KachelY + 1 6987 -0.06174273 1.24375670 -3.537598 71.262010
    Unten rechts KachelX + 1 16063 KachelY + 1 6987 -0.06155098 1.24375670 -3.526611 71.262010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24381829-1.24375670) × R
    6.15900000000558e-05 × 6371000     		dl = 392.389890000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24381829-1.24375670) × R
    6.15900000000558e-05 × 6371000     		dr = 392.389890000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06174273--0.06155098) × cos(1.24381829) × R
    0.000191750000000004 × 0.321182647971903 × 6371000     		do = 392.369329181419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06174273--0.06155098) × cos(1.24375670) × R
    0.000191750000000004 × 0.321240974156252 × 6371000     		du = 392.440582737522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24381829)-sin(1.24375670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321182647971903-0.321240974156252)×R²
    abs(-0.06155098--0.06174273)×5.83261843481453e-05×R²
    0.000191750000000004×5.83261843481453e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.83261843481453e-05×40589641000000     		ar = 153975.737553353m²