Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16060 / 18764
↖ ↑ ↗
← S 25.284438°
W  3.559570°		 ← 1 104.60 m → S 25.284438°
W  3.548584°		 →
↑
1 104.54 m
↓
↑
1 104.54 m
↓
S 25.294371°
W  3.559570°		 ← 1 104.51 m →
1 220 030 m²		 S 25.294371°
W  3.548584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490127563476562 y=0.572647094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490127563476562 × 215)
    floor (0.490127563476562 × 32768)
    floor (16060.5)     		tx = 16060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572647094726562 × 215)
    floor (0.572647094726562 × 32768)
    floor (18764.5)     		ty = 18764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16060 / 18764 ti = "15/16060/18764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16060/18764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16060 ÷ 215
    16060 ÷ 32768     		x = 0.4901123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18764 ÷ 215
    18764 ÷ 32768     		y = 0.5726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.019775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.06212622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.456359284382935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06212622} λ = -0.06212622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.456359284382935))-π/2
    2×atan(0.633586158588307)-π/2
    2×0.56474981930315-π/2
    1.1294996386063-1.57079632675     		φ = -0.44129669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06212622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.559570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44129669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.284438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16060 KachelY 18764 -0.06212622 -0.44129669 -3.559570 -25.284438
    Oben rechts KachelX + 1 16061 KachelY 18764 -0.06193447 -0.44129669 -3.548584 -25.284438
    Unten links KachelX 16060 KachelY + 1 18765 -0.06212622 -0.44147006 -3.559570 -25.294371
    Unten rechts KachelX + 1 16061 KachelY + 1 18765 -0.06193447 -0.44147006 -3.548584 -25.294371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44129669--0.44147006) × R
    0.000173370000000006 × 6371000     		dl = 1104.54027000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44129669--0.44147006) × R
    0.000173370000000006 × 6371000     		dr = 1104.54027000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06212622--0.06193447) × cos(-0.44129669) × R
    0.000191750000000004 × 0.904198591302925 × 6371000     		do = 1104.60448893039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06212622--0.06193447) × cos(-0.44147006) × R
    0.000191750000000004 × 0.904124529256918 × 6371000     		du = 1104.51401182805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44129669)-sin(-0.44147006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904198591302925-0.904124529256918)×R²
    abs(-0.06193447--0.06212622)×7.40620460067953e-05×R²
    0.000191750000000004×7.40620460067953e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.40620460067953e-05×40589641000000     		ar = 1220030.17570094m²