Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1606 / 1721
↖ ↑ ↗
← N 80.441282°
W144.711914°		 ← 405.73 m → N 80.441282°
W144.689941°		 →
↑
405.77 m
↓
↑
405.77 m
↓
N 80.437633°
W144.711914°		 ← 405.88 m →
164 662 m²		 N 80.437633°
W144.689941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.098052978515625 y=0.105072021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.098052978515625 × 214)
    floor (0.098052978515625 × 16384)
    floor (1606.5)     		tx = 1606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105072021484375 × 214)
    floor (0.105072021484375 × 16384)
    floor (1721.5)     		ty = 1721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1606 / 1721 ti = "14/1606/1721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1606/1721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1606 ÷ 214
    1606 ÷ 16384     		x = 0.0980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1721 ÷ 214
    1721 ÷ 16384     		y = 0.10504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.0980224609375 × 2 - 1) × π
    -0.803955078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.52569937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10504150390625 × 2 - 1) × π
    0.7899169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48159741953107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52569937} λ = -2.52569937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48159741953107))-π/2
    2×atan(11.9603548705273)-π/2
    2×1.48738078020729-π/2
    2.97476156041457-1.57079632675     		φ = 1.40396523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52569937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40396523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.441282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1606 KachelY 1721 -2.52569937 1.40396523 -144.711914 80.441282
    Oben rechts KachelX + 1 1607 KachelY 1721 -2.52531587 1.40396523 -144.689941 80.441282
    Unten links KachelX 1606 KachelY + 1 1722 -2.52569937 1.40390154 -144.711914 80.437633
    Unten rechts KachelX + 1 1607 KachelY + 1 1722 -2.52531587 1.40390154 -144.689941 80.437633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40396523-1.40390154) × R
    6.36900000001717e-05 × 6371000     		dl = 405.768990001094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40396523-1.40390154) × R
    6.36900000001717e-05 × 6371000     		dr = 405.768990001094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52569937--2.52531587) × cos(1.40396523) × R
    0.00038349999999987 × 0.166058282108014 × 6371000     		do = 405.726630421308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52569937--2.52531587) × cos(1.40390154) × R
    0.00038349999999987 × 0.166121087495384 × 6371000     		du = 405.880081473953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40396523)-sin(1.40390154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166058282108014-0.166121087495384)×R²
    abs(-2.52531587--2.52569937)×6.28053873697743e-05×R²
    0.00038349999999987×6.28053873697743e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.28053873697743e-05×40589641000000     		ar = 164662.417938123m²