Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16058 / 15579
↖ ↑ ↗
← N 79.578944°
W135.895386°		 ← 55.25 m → N 79.578944°
W135.892639°		 →
↑
55.24 m
↓
↑
55.24 m
↓
N 79.578447°
W135.895386°		 ← 55.25 m →
3 052 m²		 N 79.578447°
W135.892639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122516632080078 y=0.118862152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122516632080078 × 217)
    floor (0.122516632080078 × 131072)
    floor (16058.5)     		tx = 16058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118862152099609 × 217)
    floor (0.118862152099609 × 131072)
    floor (15579.5)     		ty = 15579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16058 / 15579 ti = "17/16058/15579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16058/15579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16058 ÷ 217
    16058 ÷ 131072     		x = 0.122512817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15579 ÷ 217
    15579 ÷ 131072     		y = 0.118858337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.122512817382812 × 2 - 1) × π
    -0.754974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37182192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118858337402344 × 2 - 1) × π
    0.762283325195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.39478369431915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37182192} λ = -2.37182192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39478369431915))-π/2
    2×atan(10.9658258321038)-π/2
    2×1.47985545768802-π/2
    2.95971091537604-1.57079632675     		φ = 1.38891459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37182192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.895386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38891459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.578944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16058 KachelY 15579 -2.37182192 1.38891459 -135.895386 79.578944
    Oben rechts KachelX + 1 16059 KachelY 15579 -2.37177398 1.38891459 -135.892639 79.578944
    Unten links KachelX 16058 KachelY + 1 15580 -2.37182192 1.38890592 -135.895386 79.578447
    Unten rechts KachelX + 1 16059 KachelY + 1 15580 -2.37177398 1.38890592 -135.892639 79.578447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38891459-1.38890592) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dl = 55.2365699995725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38891459-1.38890592) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dr = 55.2365699995725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37182192--2.37177398) × cos(1.38891459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180880590244594 × 6371000     		do = 55.2455881270556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37182192--2.37177398) × cos(1.38890592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180889117226705 × 6371000     		du = 55.248192486877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38891459)-sin(1.38890592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180880590244594-0.180889117226705)×R²
    abs(-2.37177398--2.37182192)×8.52698211151193e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.52698211151193e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.52698211151193e-06×40589641000000     		ar = 3051.64872365097m²