Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1604 / 1506
↖ ↑ ↗
← S 64.320872°
E101.953125°		 ← 8 469.90 m → S 64.320872°
E102.128907°		 →
↑
8 458.14 m
↓
↑
8 458.14 m
↓
S 64.396938°
E101.953125°		 ← 8 446.51 m →
71 540 673 m²		 S 64.396938°
E102.128907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783447265625 y=0.735595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783447265625 × 211)
    floor (0.783447265625 × 2048)
    floor (1604.5)     		tx = 1604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735595703125 × 211)
    floor (0.735595703125 × 2048)
    floor (1506.5)     		ty = 1506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1604 / 1506 ti = "11/1604/1506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1604/1506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1604 ÷ 211
    1604 ÷ 2048     		x = 0.783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1506 ÷ 211
    1506 ÷ 2048     		y = 0.7353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783203125 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77941771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7353515625 × 2 - 1) × π
    -0.470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47875747947949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77941771} λ = 1.77941771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47875747947949))-π/2
    2×atan(0.227920708675719)-π/2
    2×0.224092669995727-π/2
    0.448185339991453-1.57079632675     		φ = -1.12261099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77941771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12261099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.320872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1604 KachelY 1506 1.77941771 -1.12261099 101.953125 -64.320872
    Oben rechts KachelX + 1 1605 KachelY 1506 1.78248568 -1.12261099 102.128907 -64.320872
    Unten links KachelX 1604 KachelY + 1 1507 1.77941771 -1.12393859 101.953125 -64.396938
    Unten rechts KachelX + 1 1605 KachelY + 1 1507 1.78248568 -1.12393859 102.128907 -64.396938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12261099--1.12393859) × R
    0.00132759999999998 × 6371000     		dl = 8458.1395999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12261099--1.12393859) × R
    0.00132759999999998 × 6371000     		dr = 8458.1395999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77941771-1.78248568) × cos(-1.12261099) × R
    0.00306797000000003 × 0.433330810612138 × 6371000     		do = 8469.90000113192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77941771-1.78248568) × cos(-1.12393859) × R
    0.00306797000000003 × 0.432133949586091 × 6371000     		du = 8446.50611138855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12261099)-sin(-1.12393859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433330810612138-0.432133949586091)×R²
    abs(1.78248568-1.77941771)×0.00119686102604666×R²
    0.00306797000000003×0.00119686102604666×6371000²
    0.00306797000000003×0.00119686102604666×40589641000000     		ar = 71540672.7226642m²