Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16030 / 15456
↖ ↑ ↗
← N 79.639874°
W135.972290°		 ← 54.91 m → N 79.639874°
W135.969544°		 →
↑
54.92 m
↓
↑
54.92 m
↓
N 79.639380°
W135.972290°		 ← 54.92 m →
3 016 m²		 N 79.639380°
W135.969544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122303009033203 y=0.117923736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122303009033203 × 217)
    floor (0.122303009033203 × 131072)
    floor (16030.5)     		tx = 16030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117923736572266 × 217)
    floor (0.117923736572266 × 131072)
    floor (15456.5)     		ty = 15456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16030 / 15456 ti = "17/16030/15456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16030/15456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16030 ÷ 217
    16030 ÷ 131072     		x = 0.122299194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15456 ÷ 217
    15456 ÷ 131072     		y = 0.117919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.122299194335938 × 2 - 1) × π
    -0.755401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.37316415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117919921875 × 2 - 1) × π
    0.76416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40067993297241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37316415} λ = -2.37316415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40067993297241))-π/2
    2×atan(11.0306739503571)-π/2
    2×1.48038717196496-π/2
    2.96077434392993-1.57079632675     		φ = 1.38997802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37316415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.972290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38997802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.639874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16030 KachelY 15456 -2.37316415 1.38997802 -135.972290 79.639874
    Oben rechts KachelX + 1 16031 KachelY 15456 -2.37311622 1.38997802 -135.969544 79.639874
    Unten links KachelX 16030 KachelY + 1 15457 -2.37316415 1.38996940 -135.972290 79.639380
    Unten rechts KachelX + 1 16031 KachelY + 1 15457 -2.37311622 1.38996940 -135.969544 79.639380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38997802-1.38996940) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dl = 54.9180200000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38997802-1.38996940) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dr = 54.9180200000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37316415--2.37311622) × cos(1.38997802) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179834599373472 × 6371000     		do = 54.9146583289536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37316415--2.37311622) × cos(1.38996940) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179843078833743 × 6371000     		du = 54.9172476341555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38997802)-sin(1.38996940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179834599373472-0.179843078833743)×R²
    abs(-2.37311622--2.37316415)×8.47946027154878e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.47946027154878e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.47946027154878e-06×40589641000000     		ar = 3015.87540414724m²