Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16020 / 8068
↖ ↑ ↗
← N 67.050304°
W  3.999024°		 ← 476.34 m → N 67.050304°
W  3.988037°		 →
↑
476.36 m
↓
↑
476.36 m
↓
N 67.046020°
W  3.999024°		 ← 476.43 m →
226 932 m²		 N 67.046020°
W  3.988037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488906860351562 y=0.246231079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488906860351562 × 215)
    floor (0.488906860351562 × 32768)
    floor (16020.5)     		tx = 16020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246231079101562 × 215)
    floor (0.246231079101562 × 32768)
    floor (8068.5)     		ty = 8068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16020 / 8068 ti = "15/16020/8068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16020/8068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16020 ÷ 215
    16020 ÷ 32768     		x = 0.4888916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8068 ÷ 215
    8068 ÷ 32768     		y = 0.2462158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4888916015625 × 2 - 1) × π
    -0.022216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06979613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2462158203125 × 2 - 1) × π
    0.507568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59457302896155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06979613} λ = -0.06979613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59457302896155))-π/2
    2×atan(4.92622526750115)-π/2
    2×1.37052244908285-π/2
    2.74104489816571-1.57079632675     		φ = 1.17024857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06979613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.999024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17024857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.050304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16020 KachelY 8068 -0.06979613 1.17024857 -3.999024 67.050304
    Oben rechts KachelX + 1 16021 KachelY 8068 -0.06960438 1.17024857 -3.988037 67.050304
    Unten links KachelX 16020 KachelY + 1 8069 -0.06979613 1.17017380 -3.999024 67.046020
    Unten rechts KachelX + 1 16021 KachelY + 1 8069 -0.06960438 1.17017380 -3.988037 67.046020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17024857-1.17017380) × R
    7.47700000001128e-05 × 6371000     		dl = 476.359670000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17024857-1.17017380) × R
    7.47700000001128e-05 × 6371000     		dr = 476.359670000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06979613--0.06960438) × cos(1.17024857) × R
    0.000191750000000004 × 0.389922801281348 × 6371000     		do = 476.344998515256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06979613--0.06960438) × cos(1.17017380) × R
    0.000191750000000004 × 0.389991651962603 × 6371000     		du = 476.429109209866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17024857)-sin(1.17017380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389922801281348-0.389991651962603)×R²
    abs(-0.06960438--0.06979613)×6.88506812546175e-05×R²
    0.000191750000000004×6.88506812546175e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.88506812546175e-05×40589641000000     		ar = 226931.57987623m²