Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16013 / 15733
↖ ↑ ↗
← N 79.502158°
W136.018982°		 ← 55.65 m → N 79.502158°
W136.016235°		 →
↑
55.68 m
↓
↑
55.68 m
↓
N 79.501657°
W136.018982°		 ← 55.65 m →
3 099 m²		 N 79.501657°
W136.016235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122173309326172 y=0.120037078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122173309326172 × 217)
    floor (0.122173309326172 × 131072)
    floor (16013.5)     		tx = 16013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120037078857422 × 217)
    floor (0.120037078857422 × 131072)
    floor (15733.5)     		ty = 15733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16013 / 15733 ti = "17/16013/15733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16013/15733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16013 ÷ 217
    16013 ÷ 131072     		x = 0.122169494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15733 ÷ 217
    15733 ÷ 131072     		y = 0.120033264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.122169494628906 × 2 - 1) × π
    -0.755661010742188 × 3.1415926535     		Λ = -2.37397908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120033264160156 × 2 - 1) × π
    0.759933471679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.38740141177766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37397908} λ = -2.37397908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38740141177766))-π/2
    2×atan(10.8851710818816)-π/2
    2×1.47918537243316-π/2
    2.95837074486632-1.57079632675     		φ = 1.38757442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37397908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.018982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38757442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.502158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16013 KachelY 15733 -2.37397908 1.38757442 -136.018982 79.502158
    Oben rechts KachelX + 1 16014 KachelY 15733 -2.37393114 1.38757442 -136.016235 79.502158
    Unten links KachelX 16013 KachelY + 1 15734 -2.37397908 1.38756568 -136.018982 79.501657
    Unten rechts KachelX + 1 16014 KachelY + 1 15734 -2.37393114 1.38756568 -136.016235 79.501657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38757442-1.38756568) × R
    8.73999999995156e-06 × 6371000     		dl = 55.6825399996914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38757442-1.38756568) × R
    8.73999999995156e-06 × 6371000     		dr = 55.6825399996914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37397908--2.37393114) × cos(1.38757442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182198491396675 × 6371000     		do = 55.6481090616766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37397908--2.37393114) × cos(1.38756568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182207085097592 × 6371000     		du = 55.6507337991385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38757442)-sin(1.38756568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182198491396675-0.182207085097592)×R²
    abs(-2.37393114--2.37397908)×8.59370091696454e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.59370091696454e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.59370091696454e-06×40589641000000     		ar = 3098.7011346051m²