Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16012 / 15732
↖ ↑ ↗
← N 79.502658°
W136.021729°		 ← 55.65 m → N 79.502658°
W136.018982°		 →
↑
55.62 m
↓
↑
55.62 m
↓
N 79.502158°
W136.021729°		 ← 55.65 m →
3 095 m²		 N 79.502158°
W136.018982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122165679931641 y=0.120029449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122165679931641 × 217)
    floor (0.122165679931641 × 131072)
    floor (16012.5)     		tx = 16012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120029449462891 × 217)
    floor (0.120029449462891 × 131072)
    floor (15732.5)     		ty = 15732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16012 / 15732 ti = "17/16012/15732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16012/15732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16012 ÷ 217
    16012 ÷ 131072     		x = 0.122161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15732 ÷ 217
    15732 ÷ 131072     		y = 0.120025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.122161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.75567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.37402702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120025634765625 × 2 - 1) × π
    0.75994873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38744934867728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37402702} λ = -2.37402702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38744934867728))-π/2
    2×atan(10.885692895742)-π/2
    2×1.47918973934568-π/2
    2.95837947869137-1.57079632675     		φ = 1.38758315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37402702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.021729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38758315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.502658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16012 KachelY 15732 -2.37402702 1.38758315 -136.021729 79.502658
    Oben rechts KachelX + 1 16013 KachelY 15732 -2.37397908 1.38758315 -136.018982 79.502658
    Unten links KachelX 16012 KachelY + 1 15733 -2.37402702 1.38757442 -136.021729 79.502158
    Unten rechts KachelX + 1 16013 KachelY + 1 15733 -2.37397908 1.38757442 -136.018982 79.502158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38758315-1.38757442) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dl = 55.6188300000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38758315-1.38757442) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dr = 55.6188300000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37402702--2.37397908) × cos(1.38758315) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.182189907514474 × 6371000     		do = 55.6454873236187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37402702--2.37397908) × cos(1.38757442) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.182198491396675 × 6371000     		du = 55.6481090621921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38758315)-sin(1.38757442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182189907514474-0.182198491396675)×R²
    abs(-2.37397908--2.37402702)×8.58388220112416e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.58388220112416e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.58388220112416e-06×40589641000000     		ar = 3095.00980885439m²