Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1601 / 1549
↖ ↑ ↗
← S 67.407487°
E101.425781°		 ← 7 509.07 m → S 67.407487°
E101.601562°		 →
↑
7 498.48 m
↓
↑
7 498.48 m
↓
S 67.474922°
E101.425781°		 ← 7 487.82 m →
56 226 920 m²		 S 67.474922°
E101.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781982421875 y=0.756591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781982421875 × 211)
    floor (0.781982421875 × 2048)
    floor (1601.5)     		tx = 1601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756591796875 × 211)
    floor (0.756591796875 × 2048)
    floor (1549.5)     		ty = 1549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1601 / 1549 ti = "11/1601/1549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1601/1549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1601 ÷ 211
    1601 ÷ 2048     		x = 0.78173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1549 ÷ 211
    1549 ÷ 2048     		y = 0.75634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78173828125 × 2 - 1) × π
    0.5634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77021383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75634765625 × 2 - 1) × π
    -0.5126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77021383} λ = 1.77021383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61067982723389))-π/2
    2×atan(0.199751771211451)-π/2
    2×0.197156866932644-π/2
    0.394313733865289-1.57079632675     		φ = -1.17648259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77021383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17648259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.407487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1601 KachelY 1549 1.77021383 -1.17648259 101.425781 -67.407487
    Oben rechts KachelX + 1 1602 KachelY 1549 1.77328179 -1.17648259 101.601562 -67.407487
    Unten links KachelX 1601 KachelY + 1 1550 1.77021383 -1.17765956 101.425781 -67.474922
    Unten rechts KachelX + 1 1602 KachelY + 1 1550 1.77328179 -1.17765956 101.601562 -67.474922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17648259--1.17765956) × R
    0.00117696999999994 × 6371000     		dl = 7498.47586999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17648259--1.17765956) × R
    0.00117696999999994 × 6371000     		dr = 7498.47586999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77021383-1.77328179) × cos(-1.17648259) × R
    0.00306795999999987 × 0.384174679663317 × 6371000     		do = 7509.06797745048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77021383-1.77328179) × cos(-1.17765956) × R
    0.00306795999999987 × 0.383087763999222 × 6371000     		du = 7487.82315305289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17648259)-sin(-1.17765956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384174679663317-0.383087763999222)×R²
    abs(1.77328179-1.77021383)×0.00108691566409497×R²
    0.00306795999999987×0.00108691566409497×6371000²
    0.00306795999999987×0.00108691566409497×40589641000000     		ar = 56226919.624279m²