Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16007 / 6857
↖ ↑ ↗
← N 71.715436°
W  4.141845°		 ← 383.25 m → N 71.715436°
W  4.130860°		 →
↑
383.28 m
↓
↑
383.28 m
↓
N 71.711989°
W  4.141845°		 ← 383.32 m →
146 906 m²		 N 71.711989°
W  4.130860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488510131835938 y=0.209274291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488510131835938 × 215)
    floor (0.488510131835938 × 32768)
    floor (16007.5)     		tx = 16007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209274291992188 × 215)
    floor (0.209274291992188 × 32768)
    floor (6857.5)     		ty = 6857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16007 / 6857 ti = "15/16007/6857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16007/6857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16007 ÷ 215
    16007 ÷ 32768     		x = 0.488494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6857 ÷ 215
    6857 ÷ 32768     		y = 0.209259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.02301025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07228884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209259033203125 × 2 - 1) × π
    0.58148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8267793707211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07228884} λ = -0.07228884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8267793707211))-π/2
    2×atan(6.21384191629887)-π/2
    2×1.41123340296903-π/2
    2.82246680593806-1.57079632675     		φ = 1.25167048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07228884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.141845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25167048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.715436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16007 KachelY 6857 -0.07228884 1.25167048 -4.141845 71.715436
    Oben rechts KachelX + 1 16008 KachelY 6857 -0.07209710 1.25167048 -4.130860 71.715436
    Unten links KachelX 16007 KachelY + 1 6858 -0.07228884 1.25161032 -4.141845 71.711989
    Unten rechts KachelX + 1 16008 KachelY + 1 6858 -0.07209710 1.25161032 -4.130860 71.711989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25167048-1.25161032) × R
    6.01600000000868e-05 × 6371000     		dl = 383.279360000553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25167048-1.25161032) × R
    6.01600000000868e-05 × 6371000     		dr = 383.279360000553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07228884--0.07209710) × cos(1.25167048) × R
    0.000191739999999996 × 0.313736663351642 × 6371000     		do = 383.253033951571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07228884--0.07209710) × cos(1.25161032) × R
    0.000191739999999996 × 0.313793785307555 × 6371000     		du = 383.322812735712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25167048)-sin(1.25161032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313736663351642-0.313793785307555)×R²
    abs(-0.07209710--0.07228884)×5.71219559136193e-05×R²
    0.000191739999999996×5.71219559136193e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.71219559136193e-05×40589641000000     		ar = 146906.349999058m²