Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16000 / 16000
↖ ↑ ↗
← N 79.367701°
W136.054688°		 ← 56.35 m → N 79.367701°
W136.051941°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.367194°
W136.054688°		 ← 56.36 m →
3 177 m²		 N 79.367194°
W136.051941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122074127197266 y=0.122074127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122074127197266 × 217)
    floor (0.122074127197266 × 131072)
    floor (16000.5)     		tx = 16000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122074127197266 × 217)
    floor (0.122074127197266 × 131072)
    floor (16000.5)     		ty = 16000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16000 / 16000 ti = "17/16000/16000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16000/16000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16000 ÷ 217
    16000 ÷ 131072     		x = 0.1220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16000 ÷ 217
    16000 ÷ 131072     		y = 0.1220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1220703125 × 2 - 1) × π
    -0.755859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37460226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1220703125 × 2 - 1) × π
    0.755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3746022595791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37460226} λ = -2.37460226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3746022595791))-π/2
    2×atan(10.7467379238453)-π/2
    2×1.47801201254494-π/2
    2.95602402508987-1.57079632675     		φ = 1.38522770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37460226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38522770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.367701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16000 KachelY 16000 -2.37460226 1.38522770 -136.054688 79.367701
    Oben rechts KachelX + 1 16001 KachelY 16000 -2.37455432 1.38522770 -136.051941 79.367701
    Unten links KachelX 16000 KachelY + 1 16001 -2.37460226 1.38521885 -136.054688 79.367194
    Unten rechts KachelX + 1 16001 KachelY + 1 16001 -2.37455432 1.38521885 -136.051941 79.367194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38522770-1.38521885) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38522770-1.38521885) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37460226--2.37455432) × cos(1.38522770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184505427649398 × 6371000     		do = 56.3527067737968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37460226--2.37455432) × cos(1.38521885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184514125700901 × 6371000     		du = 56.3553633826137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38522770)-sin(1.38521885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184505427649398-0.184514125700901)×R²
    abs(-2.37455432--2.37460226)×8.69805150333081e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69805150333081e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69805150333081e-06×40589641000000     		ar = 3177.42928389883m²