Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1600 / 1726
↖ ↑ ↗
← N 80.423022°
W144.843750°		 ← 406.49 m → N 80.423022°
W144.821777°		 →
↑
406.60 m
↓
↑
406.60 m
↓
N 80.419365°
W144.843750°		 ← 406.65 m →
165 311 m²		 N 80.419365°
W144.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.097686767578125 y=0.105377197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.097686767578125 × 214)
    floor (0.097686767578125 × 16384)
    floor (1600.5)     		tx = 1600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105377197265625 × 214)
    floor (0.105377197265625 × 16384)
    floor (1726.5)     		ty = 1726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1600 / 1726 ti = "14/1600/1726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1600/1726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1600 ÷ 214
    1600 ÷ 16384     		x = 0.09765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1726 ÷ 214
    1726 ÷ 16384     		y = 0.1053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.09765625 × 2 - 1) × π
    -0.8046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.52800034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1053466796875 × 2 - 1) × π
    0.789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47967994354626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52800034} λ = -2.52800034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47967994354626))-π/2
    2×atan(11.9374431506496)-π/2
    2×1.4872214232165-π/2
    2.974442846433-1.57079632675     		φ = 1.40364652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52800034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40364652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.423022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1600 KachelY 1726 -2.52800034 1.40364652 -144.843750 80.423022
    Oben rechts KachelX + 1 1601 KachelY 1726 -2.52761684 1.40364652 -144.821777 80.423022
    Unten links KachelX 1600 KachelY + 1 1727 -2.52800034 1.40358270 -144.843750 80.419365
    Unten rechts KachelX + 1 1601 KachelY + 1 1727 -2.52761684 1.40358270 -144.821777 80.419365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40364652-1.40358270) × R
    6.38199999998257e-05 × 6371000     		dl = 406.597219998889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40364652-1.40358270) × R
    6.38199999998257e-05 × 6371000     		dr = 406.597219998889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52800034--2.52761684) × cos(1.40364652) × R
    0.000383500000000314 × 0.166372558680129 × 6371000     		do = 406.494495613481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52800034--2.52761684) × cos(1.40358270) × R
    0.000383500000000314 × 0.16643548887972 × 6371000     		du = 406.648251617143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40364652)-sin(1.40358270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166372558680129-0.16643548887972)×R²
    abs(-2.52761684--2.52800034)×6.293019959136e-05×R²
    0.000383500000000314×6.293019959136e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.293019959136e-05×40589641000000     		ar = 165310.790299428m²