Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15991 / 19213
↖ ↑ ↗
← S 29.659416°
W  4.317627°		 ← 1 061.58 m → S 29.659416°
W  4.306641°		 →
↑
1 061.54 m
↓
↑
1 061.54 m
↓
S 29.668962°
W  4.317627°		 ← 1 061.48 m →
1 126 855 m²		 S 29.668962°
W  4.306641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488021850585938 y=0.586349487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488021850585938 × 215)
    floor (0.488021850585938 × 32768)
    floor (15991.5)     		tx = 15991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586349487304688 × 215)
    floor (0.586349487304688 × 32768)
    floor (19213.5)     		ty = 19213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15991 / 19213 ti = "15/15991/19213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15991/19213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15991 ÷ 215
    15991 ÷ 32768     		x = 0.488006591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19213 ÷ 215
    19213 ÷ 32768     		y = 0.586334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488006591796875 × 2 - 1) × π
    -0.02398681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07535681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586334228515625 × 2 - 1) × π
    -0.17266845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.542453956100555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07535681} λ = -0.07535681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.542453956100555))-π/2
    2×atan(0.581319966936619)-π/2
    2×0.526570931215641-π/2
    1.05314186243128-1.57079632675     		φ = -0.51765446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07535681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.317627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51765446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.659416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15991 KachelY 19213 -0.07535681 -0.51765446 -4.317627 -29.659416
    Oben rechts KachelX + 1 15992 KachelY 19213 -0.07516506 -0.51765446 -4.306641 -29.659416
    Unten links KachelX 15991 KachelY + 1 19214 -0.07535681 -0.51782108 -4.317627 -29.668962
    Unten rechts KachelX + 1 15992 KachelY + 1 19214 -0.07516506 -0.51782108 -4.306641 -29.668962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51765446--0.51782108) × R
    0.000166620000000006 × 6371000     		dl = 1061.53602000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51765446--0.51782108) × R
    0.000166620000000006 × 6371000     		dr = 1061.53602000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07535681--0.07516506) × cos(-0.51765446) × R
    0.000191749999999991 × 0.868982243669901 × 6371000     		do = 1061.58281642016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07535681--0.07516506) × cos(-0.51782108) × R
    0.000191749999999991 × 0.868899780822477 × 6371000     		du = 1061.48207656908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51765446)-sin(-0.51782108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868982243669901-0.868899780822477)×R²
    abs(-0.07516506--0.07535681)×8.24628474234146e-05×R²
    0.000191749999999991×8.24628474234146e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.24628474234146e-05×40589641000000     		ar = 1126854.93095986m²