Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1599 / 1501
↖ ↑ ↗
← S 63.937372°
E101.074219°		 ← 8 587.59 m → S 63.937372°
E101.250000°		 →
↑
8 575.81 m
↓
↑
8 575.81 m
↓
S 64.014496°
E101.074219°		 ← 8 563.95 m →
73 544 176 m²		 S 64.014496°
E101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781005859375 y=0.733154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781005859375 × 211)
    floor (0.781005859375 × 2048)
    floor (1599.5)     		tx = 1599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733154296875 × 211)
    floor (0.733154296875 × 2048)
    floor (1501.5)     		ty = 1501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1599 / 1501 ti = "11/1599/1501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1599/1501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1599 ÷ 211
    1599 ÷ 2048     		x = 0.78076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1501 ÷ 211
    1501 ÷ 2048     		y = 0.73291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78076171875 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76407791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73291015625 × 2 - 1) × π
    -0.4658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46341767160107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76407791} λ = 1.76407791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46341767160107))-π/2
    2×atan(0.231443922180533)-π/2
    2×0.227439331087094-π/2
    0.454878662174187-1.57079632675     		φ = -1.11591766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76407791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11591766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.937372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1599 KachelY 1501 1.76407791 -1.11591766 101.074219 -63.937372
    Oben rechts KachelX + 1 1600 KachelY 1501 1.76714587 -1.11591766 101.250000 -63.937372
    Unten links KachelX 1599 KachelY + 1 1502 1.76407791 -1.11726373 101.074219 -64.014496
    Unten rechts KachelX + 1 1600 KachelY + 1 1502 1.76714587 -1.11726373 101.250000 -64.014496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11591766--1.11726373) × R
    0.00134606999999987 × 6371000     		dl = 8575.81196999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11591766--1.11726373) × R
    0.00134606999999987 × 6371000     		dr = 8575.81196999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76407791-1.76714587) × cos(-1.11591766) × R
    0.00306796000000009 × 0.439353321681726 × 6371000     		do = 8587.58823334812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76407791-1.76714587) × cos(-1.11726373) × R
    0.00306796000000009 × 0.438143730026227 × 6371000     		du = 8563.94558731518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11591766)-sin(-1.11726373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439353321681726-0.438143730026227)×R²
    abs(1.76714587-1.76407791)×0.00120959165549861×R²
    0.00306796000000009×0.00120959165549861×6371000²
    0.00306796000000009×0.00120959165549861×40589641000000     		ar = 73544175.6261213m²