Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 15989 / 14800
↖ ↑ ↗
← N 69.748551°
W 92.169800°		 ← 211.44 m → N 69.748551°
W 92.164306°		 →
↑
211.45 m
↓
↑
211.45 m
↓
N 69.746650°
W 92.169800°		 ← 211.46 m →
44 712 m²		 N 69.746650°
W 92.164306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243980407714844 y=0.225837707519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243980407714844 × 216)
    floor (0.243980407714844 × 65536)
    floor (15989.5)     		tx = 15989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225837707519531 × 216)
    floor (0.225837707519531 × 65536)
    floor (14800.5)     		ty = 14800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15989 / 14800 ti = "16/15989/14800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15989/14800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15989 ÷ 216
    15989 ÷ 65536     		x = 0.243972778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14800 ÷ 216
    14800 ÷ 65536     		y = 0.225830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243972778320312 × 2 - 1) × π
    -0.512054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.60866648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225830078125 × 2 - 1) × π
    0.54833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72266042474634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.60866648} λ = -1.60866648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72266042474634))-π/2
    2×atan(5.59940546279177)-π/2
    2×1.39406909623832-π/2
    2.78813819247665-1.57079632675     		φ = 1.21734187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.60866648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.169800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21734187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.748551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15989 KachelY 14800 -1.60866648 1.21734187 -92.169800 69.748551
    Oben rechts KachelX + 1 15990 KachelY 14800 -1.60857060 1.21734187 -92.164306 69.748551
    Unten links KachelX 15989 KachelY + 1 14801 -1.60866648 1.21730868 -92.169800 69.746650
    Unten rechts KachelX + 1 15990 KachelY + 1 14801 -1.60857060 1.21730868 -92.164306 69.746650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21734187-1.21730868) × R
    3.31900000001273e-05 × 6371000     		dl = 211.453490000811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21734187-1.21730868) × R
    3.31900000001273e-05 × 6371000     		dr = 211.453490000811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.60866648--1.60857060) × cos(1.21734187) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.346140777508011 × 6371000     		do = 211.440606228981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.60866648--1.60857060) × cos(1.21730868) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.34617191559734 × 6371000     		du = 211.459626976931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21734187)-sin(1.21730868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346140777508011-0.34617191559734)×R²
    abs(-1.60857060--1.60866648)×3.11380893288637e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.11380893288637e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.11380893288637e-05×40589641000000     		ar = 44711.8651212058m²