Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15980 / 19221
↖ ↑ ↗
← S 29.735762°
W  4.438477°		 ← 1 060.78 m → S 29.735762°
W  4.427490°		 →
↑
1 060.71 m
↓
↑
1 060.71 m
↓
S 29.745302°
W  4.438477°		 ← 1 060.68 m →
1 125 120 m²		 S 29.745302°
W  4.427490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487686157226562 y=0.586593627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487686157226562 × 215)
    floor (0.487686157226562 × 32768)
    floor (15980.5)     		tx = 15980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586593627929688 × 215)
    floor (0.586593627929688 × 32768)
    floor (19221.5)     		ty = 19221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15980 / 19221 ti = "15/15980/19221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15980/19221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15980 ÷ 215
    15980 ÷ 32768     		x = 0.4876708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19221 ÷ 215
    19221 ÷ 32768     		y = 0.586578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.024658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07746603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.17315673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.543987936888397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07746603} λ = -0.07746603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543987936888397))-π/2
    2×atan(0.580428916877313)-π/2
    2×0.525904683280942-π/2
    1.05180936656188-1.57079632675     		φ = -0.51898696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07746603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.438477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51898696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.735762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15980 KachelY 19221 -0.07746603 -0.51898696 -4.438477 -29.735762
    Oben rechts KachelX + 1 15981 KachelY 19221 -0.07727428 -0.51898696 -4.427490 -29.735762
    Unten links KachelX 15980 KachelY + 1 19222 -0.07746603 -0.51915345 -4.438477 -29.745302
    Unten rechts KachelX + 1 15981 KachelY + 1 19222 -0.07727428 -0.51915345 -4.427490 -29.745302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51898696--0.51915345) × R
    0.000166490000000019 × 6371000     		dl = 1060.70779000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51898696--0.51915345) × R
    0.000166490000000019 × 6371000     		dr = 1060.70779000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07746603--0.07727428) × cos(-0.51898696) × R
    0.000191750000000004 × 0.868322093746699 × 6371000     		do = 1060.77635136317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07746603--0.07727428) × cos(-0.51915345) × R
    0.000191750000000004 × 0.868239502548156 × 6371000     		du = 1060.67545471333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51898696)-sin(-0.51915345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868322093746699-0.868239502548156)×R²
    abs(-0.07727428--0.07746603)×8.25911985435912e-05×R²
    0.000191750000000004×8.25911985435912e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.25911985435912e-05×40589641000000     		ar = 1125120.23100665m²