Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15979 / 19219
↖ ↑ ↗
← S 29.716681°
W  4.449463°		 ← 1 060.98 m → S 29.716681°
W  4.438477°		 →
↑
1 060.90 m
↓
↑
1 060.90 m
↓
S 29.726222°
W  4.449463°		 ← 1 060.88 m →
1 125 537 m²		 S 29.726222°
W  4.438477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487655639648438 y=0.586532592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487655639648438 × 215)
    floor (0.487655639648438 × 32768)
    floor (15979.5)     		tx = 15979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586532592773438 × 215)
    floor (0.586532592773438 × 32768)
    floor (19219.5)     		ty = 19219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15979 / 19219 ti = "15/15979/19219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15979/19219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15979 ÷ 215
    15979 ÷ 32768     		x = 0.487640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19219 ÷ 215
    19219 ÷ 32768     		y = 0.586517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.02471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07765778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.17303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.543604441691437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07765778} λ = -0.07765778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543604441691437))-π/2
    2×atan(0.580651551265993)-π/2
    2×0.526071197790211-π/2
    1.05214239558042-1.57079632675     		φ = -0.51865393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07765778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.449463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51865393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.716681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15979 KachelY 19219 -0.07765778 -0.51865393 -4.449463 -29.716681
    Oben rechts KachelX + 1 15980 KachelY 19219 -0.07746603 -0.51865393 -4.438477 -29.716681
    Unten links KachelX 15979 KachelY + 1 19220 -0.07765778 -0.51882045 -4.449463 -29.726222
    Unten rechts KachelX + 1 15980 KachelY + 1 19220 -0.07746603 -0.51882045 -4.438477 -29.726222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51865393--0.51882045) × R
    0.000166519999999948 × 6371000     		dl = 1060.89891999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51865393--0.51882045) × R
    0.000166519999999948 × 6371000     		dr = 1060.89891999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07765778--0.07746603) × cos(-0.51865393) × R
    0.000191749999999991 × 0.868487228720224 × 6371000     		do = 1060.9780867283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07765778--0.07746603) × cos(-0.51882045) × R
    0.000191749999999991 × 0.868404670793415 × 6371000     		du = 1060.87723072451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51865393)-sin(-0.51882045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868487228720224-0.868404670793415)×R²
    abs(-0.07746603--0.07765778)×8.25579268084464e-05×R²
    0.000191749999999991×8.25579268084464e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.25579268084464e-05×40589641000000     		ar = 1125537.00994169m²