Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15976 / 19218
↖ ↑ ↗
← S 29.707139°
W  4.482422°		 ← 1 061.08 m → S 29.707139°
W  4.471435°		 →
↑
1 061.03 m
↓
↑
1 061.03 m
↓
S 29.716681°
W  4.482422°		 ← 1 060.98 m →
1 125 779 m²		 S 29.716681°
W  4.471435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487564086914062 y=0.586502075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487564086914062 × 215)
    floor (0.487564086914062 × 32768)
    floor (15976.5)     		tx = 15976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586502075195312 × 215)
    floor (0.586502075195312 × 32768)
    floor (19218.5)     		ty = 19218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15976 / 19218 ti = "15/15976/19218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15976/19218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15976 ÷ 215
    15976 ÷ 32768     		x = 0.487548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19218 ÷ 215
    19218 ÷ 32768     		y = 0.58648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487548828125 × 2 - 1) × π
    -0.02490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07823302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.1729736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.543412694092957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07823302} λ = -0.07823302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543412694092957))-π/2
    2×atan(0.580762900481633)-π/2
    2×0.526154466917342-π/2
    1.05230893383468-1.57079632675     		φ = -0.51848739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07823302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.482422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51848739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.707139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15976 KachelY 19218 -0.07823302 -0.51848739 -4.482422 -29.707139
    Oben rechts KachelX + 1 15977 KachelY 19218 -0.07804127 -0.51848739 -4.471435 -29.707139
    Unten links KachelX 15976 KachelY + 1 19219 -0.07823302 -0.51865393 -4.482422 -29.716681
    Unten rechts KachelX + 1 15977 KachelY + 1 19219 -0.07804127 -0.51865393 -4.471435 -29.716681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51848739--0.51865393) × R
    0.000166540000000048 × 6371000     		dl = 1061.02634000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51848739--0.51865393) × R
    0.000166540000000048 × 6371000     		dr = 1061.02634000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07823302--0.07804127) × cos(-0.51848739) × R
    0.000191750000000004 × 0.868569772476166 × 6371000     		do = 1061.07892542048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07823302--0.07804127) × cos(-0.51865393) × R
    0.000191750000000004 × 0.868487228720224 × 6371000     		du = 1060.97808672838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51848739)-sin(-0.51865393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868569772476166-0.868487228720224)×R²
    abs(-0.07804127--0.07823302)×8.25437559420772e-05×R²
    0.000191750000000004×8.25437559420772e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.25437559420772e-05×40589641000000     		ar = 1125779.195038m²