Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15976 / 10858
↖ ↑ ↗
← N 76.045267°
W 92.241211°		 ← 147.31 m → N 76.045267°
W 92.235718°		 →
↑
147.30 m
↓
↑
147.30 m
↓
N 76.043942°
W 92.241211°		 ← 147.32 m →
21 699 m²		 N 76.043942°
W 92.235718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243782043457031 y=0.165687561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243782043457031 × 216)
    floor (0.243782043457031 × 65536)
    floor (15976.5)     		tx = 15976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165687561035156 × 216)
    floor (0.165687561035156 × 65536)
    floor (10858.5)     		ty = 10858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15976 / 10858 ti = "16/15976/10858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15976/10858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15976 ÷ 216
    15976 ÷ 65536     		x = 0.2437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10858 ÷ 216
    10858 ÷ 65536     		y = 0.165679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.512451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.60991284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165679931640625 × 2 - 1) × π
    0.66864013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10059494135086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.60991284} λ = -1.60991284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10059494135086))-π/2
    2×atan(8.17102975024264)-π/2
    2×1.44901830847652-π/2
    2.89803661695304-1.57079632675     		φ = 1.32724029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.60991284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.241211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32724029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.045267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15976 KachelY 10858 -1.60991284 1.32724029 -92.241211 76.045267
    Oben rechts KachelX + 1 15977 KachelY 10858 -1.60981696 1.32724029 -92.235718 76.045267
    Unten links KachelX 15976 KachelY + 1 10859 -1.60991284 1.32721717 -92.241211 76.043942
    Unten rechts KachelX + 1 15977 KachelY + 1 10859 -1.60981696 1.32721717 -92.235718 76.043942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32724029-1.32721717) × R
    2.31200000000431e-05 × 6371000     		dl = 147.297520000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32724029-1.32721717) × R
    2.31200000000431e-05 × 6371000     		dr = 147.297520000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.60991284--1.60981696) × cos(1.32724029) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.241155229805683 × 6371000     		do = 147.310029036445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.60991284--1.60981696) × cos(1.32721717) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.2411776673904 × 6371000     		du = 147.323735068277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32724029)-sin(1.32721717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241155229805683-0.2411776673904)×R²
    abs(-1.60981696--1.60991284)×2.24375847170388e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.24375847170388e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.24375847170388e-05×40589641000000     		ar = 21699.4113814873m²