Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15976 / 10856
↖ ↑ ↗
← N 76.047916°
W 92.241211°		 ← 147.28 m → N 76.047916°
W 92.235718°		 →
↑
147.30 m
↓
↑
147.30 m
↓
N 76.046592°
W 92.241211°		 ← 147.30 m →
21 695 m²		 N 76.046592°
W 92.235718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243782043457031 y=0.165657043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243782043457031 × 216)
    floor (0.243782043457031 × 65536)
    floor (15976.5)     		tx = 15976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165657043457031 × 216)
    floor (0.165657043457031 × 65536)
    floor (10856.5)     		ty = 10856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15976 / 10856 ti = "16/15976/10856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15976/10856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15976 ÷ 216
    15976 ÷ 65536     		x = 0.2437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10856 ÷ 216
    10856 ÷ 65536     		y = 0.1656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.512451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.60991284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1656494140625 × 2 - 1) × π
    0.668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10078668894934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.60991284} λ = -1.60991284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10078668894934))-π/2
    2×atan(8.17259667579667)-π/2
    2×1.44904142679349-π/2
    2.89808285358698-1.57079632675     		φ = 1.32728653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.60991284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.241211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32728653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.047916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15976 KachelY 10856 -1.60991284 1.32728653 -92.241211 76.047916
    Oben rechts KachelX + 1 15977 KachelY 10856 -1.60981696 1.32728653 -92.235718 76.047916
    Unten links KachelX 15976 KachelY + 1 10857 -1.60991284 1.32726341 -92.241211 76.046592
    Unten rechts KachelX + 1 15977 KachelY + 1 10857 -1.60981696 1.32726341 -92.235718 76.046592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32728653-1.32726341) × R
    2.31200000000431e-05 × 6371000     		dl = 147.297520000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32728653-1.32726341) × R
    2.31200000000431e-05 × 6371000     		dr = 147.297520000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.60991284--1.60981696) × cos(1.32728653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.241110354249543 × 6371000     		do = 147.282616736561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.60991284--1.60981696) × cos(1.32726341) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.24113279209206 × 6371000     		du = 147.29632292587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32728653)-sin(1.32726341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241110354249543-0.24113279209206)×R²
    abs(-1.60981696--1.60991284)×2.24378425165705e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.24378425165705e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.24378425165705e-05×40589641000000     		ar = 21695.3736294116m²