Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 15975 / 10853
↖ ↑ ↗
← N 76.051889°
W 92.246704°		 ← 147.23 m → N 76.051889°
W 92.241211°		 →
↑
147.30 m
↓
↑
147.30 m
↓
N 76.050565°
W 92.246704°		 ← 147.24 m →
21 687 m²		 N 76.050565°
W 92.241211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243766784667969 y=0.165611267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243766784667969 × 216)
    floor (0.243766784667969 × 65536)
    floor (15975.5)     		tx = 15975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165611267089844 × 216)
    floor (0.165611267089844 × 65536)
    floor (10853.5)     		ty = 10853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15975 / 10853 ti = "16/15975/10853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15975/10853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15975 ÷ 216
    15975 ÷ 65536     		x = 0.243759155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10853 ÷ 216
    10853 ÷ 65536     		y = 0.165603637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243759155273438 × 2 - 1) × π
    -0.512481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.61000871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165603637695312 × 2 - 1) × π
    0.668792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10107431034706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61000871} λ = -1.61000871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10107431034706))-π/2
    2×atan(8.17494762755137)-π/2
    2×1.44907609620349-π/2
    2.89815219240699-1.57079632675     		φ = 1.32735587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61000871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.246704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32735587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.051889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15975 KachelY 10853 -1.61000871 1.32735587 -92.246704 76.051889
    Oben rechts KachelX + 1 15976 KachelY 10853 -1.60991284 1.32735587 -92.241211 76.051889
    Unten links KachelX 15975 KachelY + 1 10854 -1.61000871 1.32733275 -92.246704 76.050565
    Unten rechts KachelX + 1 15976 KachelY + 1 10854 -1.60991284 1.32733275 -92.241211 76.050565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32735587-1.32733275) × R
    2.31200000000431e-05 × 6371000     		dl = 147.297520000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32735587-1.32733275) × R
    2.31200000000431e-05 × 6371000     		dr = 147.297520000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61000871--1.60991284) × cos(1.32735587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.241043059359039 × 6371000     		do = 147.226152699882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61000871--1.60991284) × cos(1.32733275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.241065497588054 × 6371000     		du = 147.239857695745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32735587)-sin(1.32733275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241043059359039-0.241065497588054)×R²
    abs(-1.60991284--1.61000871)×2.24382290144598e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.24382290144598e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.24382290144598e-05×40589641000000     		ar = 21687.0565287663m²