Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15970 / 19232
↖ ↑ ↗
← S 29.840644°
W  4.548340°		 ← 1 059.67 m → S 29.840644°
W  4.537354°		 →
↑
1 059.56 m
↓
↑
1 059.56 m
↓
S 29.850173°
W  4.548340°		 ← 1 059.56 m →
1 122 727 m²		 S 29.850173°
W  4.537354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487380981445312 y=0.586929321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487380981445312 × 215)
    floor (0.487380981445312 × 32768)
    floor (15970.5)     		tx = 15970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586929321289062 × 215)
    floor (0.586929321289062 × 32768)
    floor (19232.5)     		ty = 19232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15970 / 19232 ti = "15/15970/19232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15970/19232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15970 ÷ 215
    15970 ÷ 32768     		x = 0.48736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19232 ÷ 215
    19232 ÷ 32768     		y = 0.5869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.07938351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5869140625 × 2 - 1) × π
    -0.173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.54609716047168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07938351} λ = -0.07938351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54609716047168))-π/2
    2×atan(0.57920595272323)-π/2
    2×0.524989419920582-π/2
    1.04997883984116-1.57079632675     		φ = -0.52081749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07938351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.548340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52081749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.840644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15970 KachelY 19232 -0.07938351 -0.52081749 -4.548340 -29.840644
    Oben rechts KachelX + 1 15971 KachelY 19232 -0.07919176 -0.52081749 -4.537354 -29.840644
    Unten links KachelX 15970 KachelY + 1 19233 -0.07938351 -0.52098380 -4.548340 -29.850173
    Unten rechts KachelX + 1 15971 KachelY + 1 19233 -0.07919176 -0.52098380 -4.537354 -29.850173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52081749--0.52098380) × R
    0.000166310000000003 × 6371000     		dl = 1059.56101000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52081749--0.52098380) × R
    0.000166310000000003 × 6371000     		dr = 1059.56101000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07938351--0.07919176) × cos(-0.52081749) × R
    0.000191750000000004 × 0.867412695201626 × 6371000     		do = 1059.66539440662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07938351--0.07919176) × cos(-0.52098380) × R
    0.000191750000000004 × 0.867329929112132 × 6371000     		du = 1059.56428410312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52081749)-sin(-0.52098380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867412695201626-0.867329929112132)×R²
    abs(-0.07919176--0.07938351)×8.27660894940907e-05×R²
    0.000191750000000004×8.27660894940907e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.27660894940907e-05×40589641000000     		ar = 1122726.57187953m²